概念小于 n 且和 n 互质的高频构成的聚众为 Zn因其中使用了RSA算法。汇新云。

原博客：
http://blog.csdn[.net](http://lib.csdn.net/base/dotnet)/ray58750034/archive/2006/03/27/640074.aspx

匪对如加密技术，在现行网络中，有十分广泛应用。加密技术更是数字货币的根底。

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欧拉函数：
欧拉函数是数论中杀重大之一个函数，欧拉函数是依：对于一个正整数 n ，小于
n 且和 n 互质的正整数（包括 1）的个数，记作 φ(n) 。

所谓非对称，就是负该算法需要一些密钥，使用其中一个（公钥）加密，则用用别样一个（私钥）才能够解密。
只是对其规律大部分同室应该都是均等了然半解，今天就来分析下经典的匪对如加密算法

统统余数集合：
概念小于 n 且和 n 互质的反复构成的会师为 Zn ，称呼是集为 n
的了余数集合。显然 |Zn| ＝φ(n) 。

RSA算法。
经过本文的解析，可以再好的了解不对如加密原理，可以被咱们重好之应用非对称加密技术。

对如加密技术，在今天网络中，有那个广泛应用。加密技术更是数字货币的基本功。

有关性质：
对素数 p ，φ(p) = p -1 。
于有数个例外素数 p， q ，它们的乘积 n = p * q 满足 φ(n) = (p -1) * (q
-1) 。
立即是为 Zn = {1, 2, 3, … , n – 1} – {p,
2p, … , (q – 1) * p} – {q, 2q, … , (p – 1) * q} ，则 φ(n) = (n –
1) – (q – 1) – (p – 1) = (p -1) * (q -1) ＝φ(p) * φ(q) 。

题外话:
并博客一直有打算写一名目繁多文章通俗的密码学，昨天为站点上https,
因内部使用了RSA算法，就翻开了瞬间，发现本网上介绍RSA算法的章都勾的极难理解了，反正也准备写密码学，就先行勾勒RSA算法吧，下面开始正文。

所谓非对称，就是靠该算法需要一些密钥，使用其中一个（公钥）加密，则需用别样一个（私钥）才能够解密。

欧拉定理：
对于互质的正整数 a 和 n ，有 a^φ(n) ≡ 1 mod n 。

RSA算法原理

RSA算法的依据这样的数学事实：两单大质数相就得到的运气难以为因式分解。
只要：有不行大质数p跟q，很容易算出N，使得 N = p * q，
然给出N, 比较难以找p q（没有死好之方法，只发生不停止的品味）

当即事实上呢是仅为函数的定义

下面来看看数学运算过程：

摘两个大质数p，q，计算N = p * q 及 φ ( N ) = φ (p) * φ (q) =
(p-1) * (q-1)

老三单数学概念：
质数(prime
numbe)：又如素数，为以盖1底自然数中，除了1与她自身以外不再产生另外因数。
互质关系：如果个别单刚整数，除了1外，没有任何公因子，我们就是称这简单个数是互质关系（coprime）。
φ(N)：叫做欧拉函数，是依赖任意给定正整数N，在低于等于N的正整数之中，有稍许只及N构成互质关系。

如果n是质数，则 φ(n)=n-1。
倘若n可以说明成稀个互质的整数的积， φ(n) = φ(p1p2) =
φ(p1)φ(p2)。即积的欧拉函数等于各个因子的欧拉函数之积。
挑一个大于1 仅次于φ(N)的数e，使得 e 和 φ(N)互质

e其实是1及φ(N)之前的一个质数
计算d，使得d*e=1 mod φ(N) 等价于方程式 ed-1 = k * φ(N) 求一组解。

d 称为e的模反元素，e 和 φ(N)互质就必定存在d。

模反元素大凡指如果简单单正整数a和n互质，那么必然可以找到整数b，使得ab被n除的余数是1，则b称为a的模反元素。
只是根据欧拉定理证明模反元素存在，欧拉定理是指若n,a互质，则：
a^φ(n) ≡ 1(mod n) 及 a^φ(n) = a * a^（φ(n) – 1），可得a的
φ(n)-1 次方，就是a的模反元素。
(N, e)封装成公钥，(N, d)封装成私钥。
假设m为明，加密尽管是终出密文c:
m^e mod N = c (明文m用公钥e加密并与无限制数N取余得到密文c)
解密则是：
c^d mod N = m　(密文c用密钥解密并同随意数N取余得到明文m)

私钥解密之是可作证的，这里不开展了。

但对于其原理大部分同班应该还是同样懂得半解，今天即使来分析下经典的未对如加密算法

证明：
( 1 ) 令 Zn = {x₁, x₂, …, x_φ(n)} ， S = {a * x₁ mod n, a * x₂ mod n, … , a * x_φ(n) mod n} ，
        则 Zn = S 。
        ① 因为 a 与 n 互质， x_i
(1 ≤ i ≤ φ(n)) 与 n 互质，所以 a * x_i 与
n 互质，所以 a * x_i
mod n ∈ Zn 。
        ② 若 i ≠ j ，那么 x_i ≠
x_j，且由于 a, n互质可得 a * x_i
mod n ≠ a * x_j mod n （消去律）。

加解密步骤

切切实实或来瞧步骤，举个例子，假设Alice和Bob又比方互通信。

Alice 随机获得大质数P1=53，P2=59，那N=53*59=3127，φ(N)=3016
取一个e=3，计算出d=2011。
才将N=3127，e=3 作为公钥传为Bob（公钥公开）
要是Bob需要加密的明文m=89，c = 89^3 mod
3127=1394，于是Bob传回c=1394。（公钥加密过程）
Alice使用c^d mod N = 1394^2011 mod 3127，就能够取明文m=89。
（私钥解密过程）

设攻击者能截取到公钥n=3127，e=3及密文c=1394，是仍鞭长莫及不经过d来拓展密文解密的。

RSA算法。

( 2 )     a^φ(n) * x₁
* x₂
*… * x_φ(n) mod n
      ≡ (a
* x₁) * (a *
x₂) * … * (a
* x_φ(n)) mod n
      ≡ (a * x₁
mod
n) * (a
* x₂ mod n) * … * (a
* x_φ(n) mod n) mod n
      ≡ x₁
* x₂ * … * x_φ(n) mod n
      对比等式的横两头，因为 x_i (1
≤ i ≤ φ(n)) 与 n 互质，所以 a^φ(n) ≡ 1 mod n （消去律）。
注：
消去律：如果 gcd(c,p) = 1 ，则 ac ≡ bc mod p ⇒ a ≡ b mod p 。

安全性分析

这就是说，有无可能以已掌握n和e的情形下，推导出d？

　　1. ed≡1 (mod φ(n))。只有知道e和φ(n)，才能算出d。
　　2. φ(n)=(p-1)(q-1)。只有知道p和q，才能算出φ(n)。
　　3. n=pq。只有将n因数分解，才能算出p和q。

假若n可以让因数分解，d就好算出，因此RSA安全性建立在N的因式分解上。大整数的因数分解，是千篇一律宗好艰苦的事体。
假定密钥长度足够长，用RSA加密的音讯实际是无可知让解破的。

经本文的分析，可以另行好之了解不对如加密原理，可以被咱还好的用非对称加密技术。

费马定理：
而正整数 a 与素数 p 互质，则发 a^{p\ -\ 1} ≡ 1 mod p 。
证实这定律非常简单，由于 φ(p) = p
-1，代入欧拉定律即可验证。

补给模运算规则

模运算加减法：
(a + b) mod p = (a mod p + b mod p) mod p
(a – b) mod p = (a mod p – b mod p) mod p
模运算乘法：
(a * b) mod p = (a mod p * b mod p) mod p
模运算幂
a ^ b mod p = ((a mod p)^b) mod p

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题外话:

参考来源：
http://zhidao.baidu.com/question/15882452.html?si=2

连博客一直闹打算写一系列文章通俗的密码学，昨天让站点及https,
因其中使用了RSA算法，就翻了转，发现本网上介绍RSA算法的篇章还写的尽难理解了，反正也准备写密码学，就优先勾勒RSA算法吧，下面开始正文。

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RSA算法原理

加：欧拉函数公式

RSA算法的根据这样的数学事实：两个大质数相就得到的造化难以被因式分解。

( 1 ) p^k 的欧拉函数

于给定的一个素数 p ， φ(p) = p -1。则对此刚刚整数 n = p^k ，

φ(n) = pk - pk -1

证明：
 小于 pk 的正整数个数为 pk - 1个，其中
 和 pk 不互质的正整数有{p * 1,p * 2,...,p * (pk - 1-1)} 共计 pk - 1 - 1 个
 所以 φ(n) = pk - 1 - (pk - 1 - 1) = pk - pk - 1 。

假若：有十分大质数p跟q，很轻算出N，使得 N = p * q，

( 2 ) p * q 的欧拉函数

假如 p, q是有限独互质的正整数，则 p * q 的欧拉函数为

φ(p * q) = φ(p) * φ(q) ， gcd(p, q) = 1 。

证明：
 令 n = p * q ， gcd(p,q) = 1
 根据中国余数定理，有
 Zn 和 Zp × Zq 之间存在一一映射
（我的想法是： a ∈ Zp ， b ∈ Zq ⇔ b * p + a * q ∈ Zn 。）
 所以 n 的完全余数集合的元素个数等于集合 Zp × Zq 的元素个数。
 而后者的元素个数为 φ(p) * φ(q) ，所以有
 φ(p * q) = φ(p) * φ(q) 。

可让出N, 比较难以找p q（没有好好的方式，只发生不停歇的品味）

( 3 ) 任意正整数的欧拉函数

轻易一个平头 n 都得以象征也其素因子的乘积为：

      I
 n = ∏  piki (I 为 n 的素因子的个数)
     i=1

因前两单结论，很易得出它的欧拉函数为：

         I                      I
 Φ(n) = ∏  piki -1(pi -1) = n ∏ (1 - 1 / pi)
        i=1                    i=1

于任意 n > 2，2 | Φ(n) ,因为自然有
p_i -1是偶数。

程序代码可参见：http://blog.csdn[.NET](http://lib.csdn.net/base/dotnet)/Rappy/archive/2007/08/16/1747489.aspx

当时其实为是单独为函数的概念

下来探望数学运算过程：

选取两独大质数p，q，计算N = p q 及 φ ( N ) = φ (p) φ (q) = (p-1) *
(q-1)

老三单数学概念：

质数(prime
numbe)：又如素数，为以盖1之自然数中，除了1跟她自己以外不再来外因数。

互质关系：如果少单刚刚整数，除了1外面，没有其它公因子，我们就是称这点儿独数是互质关系（coprime）。

φ(N)：叫做欧拉函数，是恃任意给定正整数N，在低于等于N的正整数之中，有稍许个及N构成互质关系。

如果n是质数，则 φ(n)=n-1。

一经n可以说明变成稀独互质的平头的积， φ(n) = φ(p1p2) =
φ(p1)φ(p2)。即积的欧拉函数等于各个因子的欧拉函数之积。

分选一个超出1 低于φ(N)的数e，使得 e 和 φ(N)互质

e其实是1暨φ(N)之前的一个质数

计算d，使得de=1 mod φ(N) 等价于方程式 ed-1 = k φ(N) 求一组解。

d 称为e的模反元素，e 和 φ(N)互质就势必存在d。

模反元素是借助如果简单独正整数a和n互质，那么早晚可以找到整数b，使得ab被n除的余数是1，则b称为a的模反元素。

而是根据欧拉定理证明模反元素存在，欧拉定理是指若n,a互质，则：

a^φ(n) ≡ 1(mod n) 及 a^φ(n) = a * a^（φ(n) – 1），可得a的 φ(n)-1
次方，就是a的模反元素。

(N, e)封装成公钥，(N, d)封装成私钥。

假设m为明，加密便是算出密文c:

m^e mod N = c (明文m用公钥e加密并跟肆意数N取余得到密文c)

解密则是：

c^d mod N = m　(密文c用密钥解密并跟自由数N取余得到明文m)

私钥解密之是得印证的，这里不进行了。

加解密步骤

切切实实或来探望步骤，举个例子，假设Alice和Bob又如互通信。

Alice 随机获得大质数P1=53，P2=59，那N=53*59=3127，φ(N)=3016

取一个e=3，计算出d=2011。

就将N=3127，e=3 作为公钥传于Bob（公钥公开）

而Bob需要加密的明文m=89，c = 89^3 mod 3127=1394，于是Bob传回c=1394。
（公钥加密过程）

Alice使用c^d mod N = 1394^2011 mod 3127，就能得明文m=89。
（私钥解密过程）

只要攻击者能截取到公钥n=3127，e=3及密文c=1394，是仍鞭长莫及不通过d来展开密文解密的。

安全性分析

这就是说，有无可能于就知晓n和e的景况下，推导出d？

假使n可以为因数分解，d就可以算出，因此RSA安全性建立在N的因式分解上。大整数的因数分解，是一致桩好不便的工作。

若密钥长度足够长，用RSA加密的音讯实际是未可知为解破的。

补模运算规则

模运算加减法：

(a + b) mod p = (a mod p + b mod p) mod p

(a – b) mod p = (a mod p – b mod p) mod p

模运算乘法：

(a b) mod p = (a mod p b mod p) mod p

模运算幂

a ^ b mod p = ((a mod p)^b) mod p

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