710官方网站大凡表示一无所知函数、未知函数的导数与自变量之间的涉嫌的方程,凡是表示一无所知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程

 常微分方程

  含有未知函数的导数,如

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  的方程是微分方程。
一般的,凡是表示不解函数、未知函数的导数与自变量之间的涉及的方程,叫做微分方程。未知函数是一元函数的,叫常微分方程;未知函数是多元函数的称呼偏微分方程。本文首要介绍常微分方程。

  概念往往令人迷惑,依旧看看实际的例证:

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  目的是求解x和y的涉嫌。将等式转换:

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  这就是最后答案。

  实际上,常微分的求解过程即便运用不定积分的知识:

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 常微分方程

  含有未知函数的导数,如

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  的方程是微分方程。
一般的,凡是表示一无所知函数、未知函数的导数与自变量之间的涉嫌的方程,叫做微分方程。未知函数是一元函数的,叫常微分方程;未知函数是多元函数的称为偏微分方程。本文紧要介绍常微分方程。

  概念往往让人迷惑,依旧看看实际的例子:

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  目的是求解x和y的涉嫌。将等式转换:

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  那就是终极答案。

  实际上,常微分的求解过程固然运用不定积分的知识:

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今东瀛身给我们讲一个故事:在此以前有座山,叫高山,山上有棵树,叫高树,树上挂了无数人,叫……高人?

暌违变量

  分离变量是求解常微分方程的一种艺术,适用于dy/dx
= f(x)g(y)的款型。先看下面的言传身教:

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  在物工学中它有一个专知名称,叫做“淹没算符”。此处没必要去纠结物理学概念,仅需要在数学上求解那么些方程。但以此表明式和以往所见的微分表达式不雷同,首先将方程展开,将其更换为我们耳熟能详的款型:

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  想要求解方程,需要连续转换:

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  这就是求得的答案。

  但上述答案只求解了y>0的景色,y≤0时尚未考虑。可以因此求导来注解答案是否是通解:

  令a为随意常数,将解转换为y=ae-x^2/2,当a≠0时,实际上a=±A

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  答案是通解,最后答案是y=ae-x^2/2,a是不管三七二十一常数。

  实际上该答案就是正态分布函数,也就是知名的高斯函数,其原型:

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  其中a,b,c∈R

  高斯函数的图纸在造型上像一个倒悬着的钟。a表示收获曲线的万丈,b是指曲线大旨线在x轴的舞狮,c半峰宽度(函数峰值一半处距离的小幅)。

  当b=0,c=0,a=5时,图像如下:

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y=ae-x^2/2

暌违变量

  分离变量是求解常微分方程的一种艺术,适用于dy/dx
= f(x)g(y)的形式。先看下边的演示:

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  在物医学中它有一个专知名称,叫做“淹没算符”。此处没必要去纠结物医学概念,仅需要在数学上求解这些方程。但那些表明式和过去所见的微分表明式不均等,首先将方程展开,将其更换为我们熟谙的花样:

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  想要求解方程,需要后续转换:

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  这就是求得的答案。

  但上述答案只求解了y>0的意况,y≤0时尚未考虑。可以经过求导来证实答案是否是通解:

  令a为随机常数,将解转换为y=ae-x^2/2,当a≠0时,实际上a=±A

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  答案是通解,最终答案是y=ae-x^2/2,a是自由常数。

  实际上该答案就是正态分布函数,也就是名牌的高斯函数,其原型:

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  其中a,b,c∈R

  高斯函数的图形在形象上像一个倒悬着的钟。a表示收获曲线的冲天,b是指曲线中央线在x轴的偏移,c半峰宽度(函数峰值一半处距离的宽度)。

  当b=0,c=0,a=5时,图像如下:

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y=ae-x^2/2

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示例

示例

上过大学的男女们都精晓,《高等数学》相对称得上是一门令人又爱又恨的科目。爱的是它的高学分,绩点权重大,随便考个七八这么些都能顶过思修马哲近代史科科90+。恨的是它的高难度,公式定理一大堆,牛顿、莱布尼茨、拉格朗日、泰勒(Taylor)、高斯……前人种树太多,后人也就太容易挂。

示例1

  曲线切线与通过原点的直线相交,曲线在交点的切线是直线斜率的两倍,求曲线表达式。

  首先将上述文字转换为方程,设交点是(x,y),曲线是y=f(x),则曲线切线的斜率为y’,直线斜率为y/x,于是得到下面关系式:

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  通过验证寻找通解,设a=±A,则a为非零的随意常数,y=ax2,验证该解:

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  答案符合最初等式。最后结出是y=ax2,a∈R,x≠0

  当a=1时,曲线y=
x2,y’=2x;则在(2,4)点的切线斜率是4,切线是y=4x+b;将(2,4)代入切线,4=4×2+b,b=-4,在(2,4)点的切线为y=4x-4。下图是满意条件的曲线:

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  y=ax2实则是一族曲线:

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y=ax2

示例1

  曲线切线与通过原点的直线相交,曲线在交点的切线是直线斜率的两倍,求曲线表明式。

  首先将上述文字转换为方程,设交点是(x,y),曲线是y=f(x),则曲线切线的斜率为y’,直线斜率为y/x,于是得到下边关系式:

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  通过验证寻找通解,设a=±A,则a为非零的擅自常数,y=ax2,验证该解:

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  答案符合最初等式。最终结果是y=ax2,a∈R,x≠0

  当a=1时,曲线y=
x2,y’=2x;则在(2,4)点的切线斜率是4,切线是y=4x+b;将(2,4)代入切线,4=4×2+b,b=-4,在(2,4)点的切线为y=4x-4。下图是满意条件的曲线:

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  y=ax2实际是一族曲线:

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y=ax2

然则,高数当真有那么难啊?如若我说并没有,那么这一个逼可就装大了,领会不了。作为一名出名学渣,我的高数战表很是烂,以至于考研的时候也给拖了大大的后腿,所以自己的答问是……

示例2

  微分方程xdy/dx =
(x2+x)(y2+1),求y=f(x)

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  此处需要复习一下三角形函数的求导公式:

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  由地点的公式15,

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  验证,已知三角函数公式tan2x+1=sec2x

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示例2

  微分方程xdy/dx =
(x2+x)(y2+1),求y=f(x)

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  此处需要复习一下三角形函数的求导公式:

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  由地方的公式15,

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  验证,已知三角函数公式tan2x+1=sec2x

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示例3

  d2y/dx2=6x,求y=f(x),y=f(x)在(1,1)点有程度切线。

  题目中提到到二阶导数和一个范围标准。

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  通过限制条件得知:

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  将(1,1)代入上式,1 = 1 – 3 +
C2,C2 = 3

  最终,y = x3 – 3x +
3

示例3

  d2y/dx2=6x,求y=f(x),y=f(x)在(1,1)点有档次切线。

  题目中涉及到二阶导数和一个限制条件。

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  通过限制条件得知:

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  将(1,1)代入上式,1 = 1 – 3 +
C2,C2 = 3

  最终,y = x3 – 3x +
3

然则,高数真正难的地点紧要在于解题思路,至于其基本概念、定理、公式则尚未想象中的那么难知晓。因而,先天这篇作品我们就来扯扯这个不那么难的定义、定理和公式。

 总结

  1. 动用不定积分求解常微分方程
  2. 离别变量是求解常微分方程的一种办法,适用于dy/dx
    = f(x)g(y)的花样

  作者:我是8位的

  出处:http://www.cnblogs.com/bigmonkey

  本文以念书、讨论和分享为主,如需转载,请联系自己,标明作者和出处,非商业用途! 

 

 总结

  1. 使用不定积分求解常微分方程
  2. 分手变量是求解常微分方程的一种情势,适用于dy/dx
    = f(x)g(y)的花样

  作者:我是8位的

  出处:http://www.cnblogs.com/bigmonkey

  本文以读书、商量和享受为主,如需转载,请联系自身,标明作者和出处,非商业用途! 

 

1. 极限

商朝时期教育家庄子所著的《庄周·天下篇》中有这样一句话:

一尺之棰,日取其半,万世不竭。

一根一尺长的木棍,每日截去一半,永远都截不完。每一日截后剩下的局参谋长度分别为:第一天剩1/2尺,第二天剩1/2²尺,第三天剩1/2³尺,……,第n天剩1/2ⁿ尺,……

显然,在这几个事例中,大家能窥见,当n趋于无穷大时,1/2ⁿ将趋于0,这就是我们所说的极限。

其严峻的数学概念如下:

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是不是看得一脸懵逼?没关系,咱们举个例子来帮衬领会,请看下图:

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答案是何等吧?馒头!有馅是包子,哪怕只有一丁点馅也是包子,而当馅趋于0时,包子就趋向馒头了。

然而并不是颇具的巅峰都设有,比如让包子的馅趋于无穷,极限就不存在,结果不得不是一个无穷大的包子。

说完了数列极限,我们再来谈一谈函数的巅峰。由于两者定义差不多,只是把Xn换成了f(x),由此我就不再放定义了。这里要证实的是,数列极限是函数极限的一种特殊情势,即自变量n为正整数的情事。

另外,函数还存在左右终端,左极限即自变量X从负无穷处趋于X0,右极限反之。这也是数列极限没有的特性。

讲到那里极限就介绍得几近了,最终再来举个例子加深你的知晓,果然高手都在民间,哈哈哈……

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2. 微分

高档数学有一个俗称,叫微积分,所以微分和积分是高数最重点的两有些内容,同时也是最难的始末,下面大家就来第一展开介绍。

只是在授课微分此前,大家要先来打探一个概念,它叫导数。

2.1 导数

实质上导数的概念我们在高中就早已接触过了,一言不合就求导是熟视无睹。为何导数这么好用?因为它就像《三体》里面的降维攻击,一遍函数可以经过求导化为二次函数,再求导化为一回函数,而三回函数是大家初中就会的事物了。

因而,老师平日这样教我们,高考最后一道大题,甭管您会不会做,先把题目给的函数拿来求导,这一步就有2分!别小看了这2分,它有可能控制你说到底是上交大仍然上蓝翔。

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自然,高中讲的导数和大学里的导数仍然不太一致的,紧要区别在于大学里的定义更加谨慎,利用到了极限的学问。不过这里自己不打算把导数的定义搬出来讲,因为自己意义也不大,我们如果知道导数的几何意义是函数曲线在某点处切线的斜率就充足了。

2.2 微分

介绍完导数大家来讲讲什么样是微分,这里就有必要放上定义了,请看下图:

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粗略的话,微分就是以直代曲,函数图像曲线可以接近看成由无穷小段的直线拼接而成,这样一来函数在x0处的改观量△y就足以接近用直线方程来求解,即上述定义中的△y=A△x,亦即该函数的微分。

那么,这么些常数A是什么呢?经过前面的搭配我想你早已猜到了,它就是函数在x0处的导数,即函数在该点切线的斜率。

对于一元函数而言,函数可导性与可微性是两个等价的概念。求出函数的导数之后,只要再乘以dx,就能博取相应的微分dy,即dy=f'(x0)dx。等式两边除以dx可得dy/dx=f'(x0),即函数的导数等于函数的微分与自变量的微分之商,因而,导数又被喻为微商。

等等,好像有啥地方不对……

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探望这里,我想导数的心气应该是这般的:

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2.3 微分学基本定律

在微分学中有部分重中之重的为主定理,那么些定理把函数的导数与函数值在距离上的生成联系了四起。比如费马定理:

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费马定理很好明白,若函数在x0处可导且取极值(极大值或极小值),那么函数在此点处的切线必然是程度的,具体如下图所示:

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而依照费马定理则能推导出罗尔定理:

假诺函数 f(x) 知足以下规则:(1)在闭区间 [a,b]
上连年,(2)在开区间 (a,b) 内可导,(3)f(a)=f(b),则至少存在一个
ξ∈(a,b),使得 f'(ξ)=0。

罗尔定理的几何意义可以用下图表示:

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如若函数在a、b两点处的函数值相等,且满意连续及可导的标准化,那么在a、b之间起码存在某些驱动该点处的切线水平。

按照罗尔定理,我们又能推导出出名的拉格朗日中值定理。何以说它大名鼎鼎呢?因为在大学考试周时不时流传着如此一个故事:

自习室里,一名学童正为微积分讲明抓头流汗,此时,扫地婶婶从身边度过,小声地说,“同学,这道题用拉格朗日中值定理试试”,该同学出现转机,抬头一看,大姑已经深藏功与名。

这就是说,这些定理说的是吗?请看上面的发布:

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当然,这样的叙说仍然很空洞,我们依旧需要借助函数图像来赞助精晓。

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尽管你有些思考一下就会发现,拉格朗日中值定理其实就是罗尔定理的更相像景观,把罗尔定理的函数图像倾斜一下不就得到了拉格朗日中值定理了?或者说罗尔定理就是当A=B时的拉格朗日中值定理,两者其实是相通的。

除却上述多少个定理之外,还有柯西中值定理、泰勒(Taylor)中值定理等等,那些定理本质上实在都差不多,精晓一个其他的也就都能明了了,由此这里我就不再过多介绍。

3. 积分

讲完微分再来将积分就好了解多了,假设说微分是降维攻击,那么积分就是升维防御,是微分的逆过程。一个点通过积分就成了一条线,一条线积分就变成一个面,一个面再积分就是一个体,显而易见,越来越牛逼。

但是积分还分为二种,一种是用来求面积的,叫定积分,还有一种是用来求原函数的,叫不定积分。由此定积分是一个数,不定积分是函数的所有原函数。

大家来看一下百度系数的解释:

定积分是积分的一种,是函数f(x)在区间[a,b]上的积分和的顶峰。这边应注意定积分与不安积分之间的涉及:若定积分存在,则它是一个现实的数值(曲边梯形的面积),而不定积分是一个函数表达式,它们只是在数学上有一个测算关系(牛顿-莱布尼茨公式),另外一些提到都并未!

因此定积分和不安积分只是名字有点像而已,两者根本就不搭嘎,只但是在求解定积分时能够用被叫做微积分基本定律的牛顿-莱布尼茨公式来总结而已。

这就是说,很当然的,我们就得来询问一下以此相传中牛逼叉叉的公式了。可是在此以前,我们还得先精晓一下哪些是原函数。

3.1 原函数

已知函数f(x)是一个定义在某区间的函数,假诺存在可导函数F(x),使得在该距离内的任一点都有若F'(x)=f(x),dF(x)=f(x)dx,则在该距离内就称函数F(x)为函数f(x)的原函数,f(x)称为F(x)的导函数。

譬如说对F(x)=sinx求导拿到f(x)=cosx,那么sinx就是cosx的原函数。此外,由于常数的导数等于零,因而在原函数的根基上加上自由常数构成的函数,对其求导后也仍旧会赢得一致的导函数,所以就会产出一个导函数对应众三个原函数的景色。

假设用三叔与外甥的关系来精晓原函数与导函数,那么可以说一个慈父只可以生出一个外外孙子,而一个外孙子则有无穷四个四伯。

很奇怪是不是?事实上公公依然不行爹爹,只不过穿上了价格不一样的服饰,常数C就是岳父的衣装,剥掉它三伯依旧同一个。

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3.2 牛顿(牛顿(Newton))-莱布尼茨公式

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这一公式左侧是f(x)在距离[a,b]上的定积分,左边是其原函数在a、b两点处函数值之差,原本毫无关系的定积分和动荡积分就如此牵连起来了,并且花样还这样简单,不得不说数学真的太美了!

有了那些公式,求定积分就改成了求原函数,因而那多少个公式在微积分中兼有极其重要的含义,被称之为微积分基本公式。

值得一提的是,这多少个公式的私下有一个科学史上赫赫出名的案件,即牛顿(牛顿)和莱布尼茨的微积分开创者之争,由于作品篇幅限制自身就不进行介绍了,感兴趣的可以自动百度时而,挺有趣。

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后话

写到这里差不多把《高等数学》最要害的几片段情节介绍完了,无论是高校的末尾考如故考研,基本都逃不开这些公式定理,当然也还有许多事物没讲,比如微分方程、无穷级数、二元函数微积分学等等,至于缘何不讲,因为……我要好也看不懂!

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最终,假使还有什么要说的话,这就是:未来装逼依旧要慎重一点,不然容易翻车……嗯,下一周见!

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