710官方网站您以为a的倒数在数论中如故1/a吗,数学思维十分重要

                        数论

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数论倒数,又称逆元(因为自身说习惯逆元了,下面我都说逆元)

 数论学到这里告一段落了,时间是2017/4/18。这一段时间讲的内容不多,但很要紧,数学思维非常重大,大概讲了以下几点。

 数论学到这里告一段落了,时间是2017/4/18。这一段时间讲的内容不多,但很重大,数学思维非凡首要,大概讲了以下几点。

数论中的倒数是有特意的意思滴

  •   逆元
  •   欧拉函数gcd
     ex_gcd(两个较为首要的函数)
  •   费马小定理,欧拉定理,中国剩余定理,米尔er-Rabin(判断是否为质数),Pollard-rho(大整数的因数分解)。
  •   逆元
  •   欧拉函数gcd
     ex_gcd(多个较为紧要的函数)
  •   费马小定理,欧拉定理,中国剩余定理,Miller-Rabin(判断是否为质数),Pollard-rho(大整数的因数分解)。

你以为a的倒数在数论中仍旧1/a呢

 逆元

 逆元

(・∀・)哼哼~天真

 
  定义是相比复杂的——详见算法导论P550

 
  定义是相比较复杂的——详见算法导论P550

 

    一般都是乘法求逆元a/b mod p
化为 a* b’mod p b’为b mod
p意义下逆元、

    一般都是乘法求逆元a/b mod p
化为 a* b’mod p b’为b mod
p意义下逆元、

先来引入求余概念

   a*ex_gcd(b,c)%c,然后很快幂求解

   a*ex_gcd(b,c)%c,然后快速幂求解

 

 欧拉函数,扩欧

 欧拉函数,扩欧

(a +  b) % p =
(a%p +  b%p) %p  (对)

   不说了,背背代码。  

   不说了,背背代码。  

(a  –  b) % p =
(a%p  –  b%p) %p  (对)

 费马小定理,欧拉定理
  
欧拉定理 当n>1
a^phi[n]≡1(mod n)

 费马小定理,欧拉定理
  
欧拉定理 当n>1
a^phi[n]≡1(mod n)

(a  *  b) % p =
(a%p *  b%p) %p  (对)

    费马小定理 a^(p-1)≡1(mod p) p为素数

    费马小定理 a^(p-1)≡1(mod p) p为素数

(a  /  b) % p =
(a%p  /  b%p) %p  (错)

   神州余数定理

   中国余数定理

 

  转车为一个线性方程 ax+by=c

  中转为一个线性方程 ax+by=c

怎么除法错的

   a,b

   a,b

注解是对的难,注解错的比方举一个反例      

   c,d

   c,d

(100/50)%20 = 2  
    ≠      (100%20) / (50%20) %20 = 0

   num Mod a=b;

   num Mod a=b;

 

   Num Mod c=d;

   Num Mod c=d;

对于有些题目,我们无法不在当中经过中展开求余,否则数字太大,电脑存不下,那假诺这个算式中冒出除法,我们是不是对这么些算式就不能测算了吧?

   求num最小正整数解;

   求num最小正整数解;

答案当然是
NO (>o<)

   可以改为求解 ax≡(d-b)(mod c);

   可以变成求解 ax≡(d-b)(mod c);

 

   ax+cy=d-b

   ax+cy=d-b

这时就需要逆元了

   用ex_gcd求解出x;

   用ex_gcd求解出x;

 

   Num=a*x+b;

   Num=a*x+b;

大家领悟

   这样num mod a=b

   这样num mod a=b

如果

   Num mod c=d-b+b=d

   Num mod c=d-b+b=d

a*x = 1

   因为x为最小正整数解,所以num为最小解

   因为x为最小正整数解,所以num为最小解

那么x是a的倒数,x
= 1/a

   满足的集结为{x|x=num+k·[a,b],(k∈Z)}

   满意的联谊为{x|x=num+k·[a,b],(k∈Z)}

可是a假如不是1,那么x就是小数

  Miller-Rabin,Pollard-rho

  Miller-Rabin,Pollard-rho

这数论中,大部分情状都有求余,所以现在题材变了

  本条讲述概率论,bzoj4802典型问题

  这个讲述概率论,bzoj4802典型问题

a*x  = 1 (mod
p)

 

 

那么x一定等于1/a啊

不一定

之所以那时,大家就把x看成a的倒数,只可是加了一个求余条件,所以x叫做
   a关于p的逆元

 

比如2 * 3 % 5 =
1,那么3就是2有关5的逆元,或者说2和3关于5互为逆元

这边3的职能是不是跟1/2的效能等同,所以才叫数论最后多少个

 

b的逆元,我们用inv(b)来表示

 

那么(a  /  b) % p
= (a * inv(b) ) % p = (a % p * inv(b) % p) % p

这么就把除法,完全转换为乘法了 (。・ω・),乘法超容易

 

 

 

正篇先河

 

逆元怎么求

(忘了说,a和p互质,a才有关于p的逆元)

 

方法一:

费马曾经说过:不想当地国学家的地农学家不是好物农学家(( ̄▽ ̄)~*本人不管说的,别当真)

费马小定理

a^(p-1) ≡1 (mod
p)

两边同除以a

a^(p-2) ≡1/a (mod
p)

何以(,,• ₃
•,,),这但是数论,还敢写1/a

应该写a^(p-2) ≡
inv(a) (mod p)

 

所以inv(a) =
a^(p-2) (mod p)

这么些用高速幂求一下,复杂度O(logn)(ง
•̀_•́)ง 

 

 1 LL pow_mod(LL a, LL b, LL p){//a的b次方求余p 
 2     LL ret = 1;
 3     while(b){
 4         if(b & 1) ret = (ret * a) % p;
 5         a = (a * a) % p;
 6         b >>= 1;
 7     }
 8     return ret;
 9 }
10 LL Fermat(LL a, LL p){//费马求a关于b的逆元 
11         return pow_mod(a, p-2, p);
12 }

 

方法二:

 

要用扩大欧几Reade算法

还记得扩充欧几里德(Reade)吗?(不记得的话,欧几里得会难过的(╭ ̄3 ̄)╭♡)

 

a*x + b*y =
1

如果ab互质,有解

 

本条解的x就是a关于b的逆元

y就是b关于a的逆元

何以吗?

 

你看,两边同时求余b

 

a*x % b + b*y %
b = 1 % b

a*x % b = 1 %
b

a*x = 1 (mod
b)

 

你看你看,出现了!!!(/≥▽≤/)

所以x是a关于b的逆元

反之可讲明y

 

附上代码:

 

 1 #include<cstdio>
 2 typedef long long LL;
 3 void ex_gcd(LL a, LL b, LL &x, LL &y, LL &d){
 4     if (!b) {d = a, x = 1, y = 0;}
 5     else{
 6         ex_gcd(b, a % b, y, x, d);
 7         y -= x * (a / b);
 8     }
 9 }
10 LL inv(LL t, LL p){//如果不存在,返回-1 
11     LL d, x, y;
12     ex_gcd(t, p, x, y, d);
13     return d == 1 ? (x % p + p) % p : -1;
14 }
15 int main(){
16     LL a, p;
17     while(~scanf("%lld%lld", &a, &p)){
18         printf("%lld\n", inv(a, p));
19     }
20 }

 

 

 

方法三:

当p是个质数的时候有
inv(a) = (p – p /
a) * inv(p % a) % p

那怎么是对的咩?

证实不想看的男女可以跳过。。。( ̄0
 ̄)

证明:
设x = p % a,y = p
/ a
于是有 x + y * a
= p
(x + y * a) % p
= 0
移项得 x % p =
(-y) * a % p
x * inv(a) % p =
(-y) % p
inv(a) = (p – y)
* inv(x) % p
于是 inv(a) = (p

  • p / a) * inv(p % a) % p

下一场径直递归到1结束,因为1的逆元就是1

 

代码:

 1 #include<cstdio>
 2 typedef long long LL;
 3 LL inv(LL t, LL p) {//求t关于p的逆元,注意:t要小于p,最好传参前先把t%p一下 
 4     return t == 1 ? 1 : (p - p / t) * inv(p % t, p) % p;
 5 }
 6 int main(){
 7     LL a, p;
 8     while(~scanf("%lld%lld", &a, &p)){
 9         printf("%lld\n", inv(a%p, p));
10     }
11 }

 

这一个方法不限于求单个逆元,比前五个好,它可以在O(n)的复杂度内算出n个数的逆元

递归就是下面的写法,加一个记念性递归,就足以了

递推这么写

 

 1 #include<cstdio>
 2 const int N = 200000 + 5;
 3 const int MOD = (int)1e9 + 7;
 4 int inv[N];
 5 int init(){
 6     inv[1] = 1;
 7     for(int i = 2; i < N; i ++){
 8         inv[i] = (MOD - MOD / i) * 1ll * inv[MOD % i] % MOD;
 9     }
10 }
11 int main(){
12     init();
13 }

 

又学到新知识了o(*≧▽≦)ツ好开心

 

展开欧几里得(Extend- Euclid)

 

背景:

 

扩充欧几里德(Reade)算法是用来在已知a, b求解一组x,y
[x,y都是整数],使它们满足贝祖等式: ax+by = gcd(a, b)
=d(解一定存在,依照数论中的相关定理)。扩张欧几里德(Reade)常用在求解模线性方程及方程组中。
                                                                       
                                                                       
                                                                   
 ——百度完善

 

用到的多少个欧几里得首要结论:

 

1)            gcd(a,b) =  gcd(b,a %b);

 

2)            gcd(a,0) =  a.

代码:

 (1)

 1 ll exgcd(ll a, ll b, ll &x, ll &y)
 2 {
 3     ll d;
 4     //if (a == 0 && b == 0) return -1;// 无GCD
 5     if (b == 0)
 6     {
 7         x = 1;
 8         y = 0;
 9         return a;
10     }
11     d = exgcd(b, a%b, y, x);
12     y -= a / b * x;
13     return d;
14 }
15 
16 //求a关于模n的逆元,不存在返回-1
17 ll inverse(ll a, ll MOD)
18 {
19     ll x, y, d;
20     d = exgcd(a, MOD, x, y);
21     if (d == 1)
22         return (x % MOD + MOD) % MOD;
23 
24    // else   return -1;
25 }

(2)

 1 typedef __int64 ll;
 2 void exgcd(ll a, ll b, ll& d, ll& x, ll &y)
 3 {
 4     if(!b)
 5     {
 6         d = a, x = 1, y = 0;
 7     }
 8     else
 9     {
10         exgcd(b, a % b, d, y, x);
11         y -= x * (a / b);
12     }
13 }

 

 

 

 

分析:

 

设如下多少个方程:

 

ax+by  =  gcd(a,b)  =  d;

 

bx’+(a%b)y’  =  gcd(b,a%b);

 

这就是说由首要结论(1)有gcd(a,b)  =  gcd(b,a %b),

 

那么ax+by  =  bx’+(a%b)y’  =  bx’ +(a – [a/b]*b)y’  =  ay’ + b(x’ –
[a/b]y’),

 

由恒等关系有: x = y’ , y = (x’ –
[a/b]y’)
,[a/b]代表a/b的值向下取整。

 

那么现在就足以用exgcd(a,b,d,x,y)表示方程ax+by =
d,那么由地点一向递归下去,直到 b = 0,递归截止,此时  d = gcd(a,0) =a ,
x = 1,y =0;【因为 ax+0*y = gcd(a,0)嘛~】

 

进展欧几里得的几个应用

 

求解不定方程

 

例如:求解不定整数方程ax+by = c

 

求ax+by = c, 令d =gcd(a,b);

 

那么(a / d ) * x + (b / d )* y = c / d

 

因为(a / d )、(b / d ) 、x、y都是整数,那么保险原不定整数方程ax+by =
c有解的充要条件就是c / d为整数,即c是gcd(a,b)的翻番。

 

只要有解,那么令 K = c/d;

 

这就是说,对方程aX+bY =
d;假若有拓展欧几里得求出一组解为(X0,Y0),那么aX0+bY0 =
d;等式两边同时乘以K,即K*( aX0+bY0 ) = d*K =
c;由恒等关系,原方程的解(x0,y0):

 

 X0 = KX0 = c/d * X0,y0 = KY0 = c/d *Y0。

 

不定方程的通解:

       若(x0,y0)是不定整数方程ax+by =
c的一组解,则他的任意整数解都可以表示成(x0+ kb’, y0-ka’),其中a’ =
a/gcd(a,b), b’ = b/gcd(a,b).

 

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