立马对这么些题材也是似懂非懂,这题跟经典的三门问题很像

初期见到那多少个题目是初中的时候买了一本有关数学谜题的书里头概率论的一张的课后展开就是说到三门问题,当时同日而语一个恢宏阅读看了一晃,里面说到了一个社会风气智慧最高的妇人秒杀了美利坚合众国一大群的数学高材生的上佳故事(相比夸张),当时对这个题目也是似懂非懂。

一、题目

工程师 M 发明了一种游戏:M
将一个小球随机放入完全相同的六个盒子中的某一个,玩家选中装有球的盒子即赢球;先导时
M 会让玩家选用一个盒子(采用任何一个获胜概率均为 1/3
);玩家做出拔取后,M 会打开没有被采用的五个盒子中的一个空盒,此时 M
会询问玩家是否改变采取(可以百折不挠首先次拔取,也可以挑选另一个尚无打开的盒子),下列叙述正确的有()。

A. 改选后,玩家大胜的票房价值仍然 1/3
B. 若不改选,玩家的胜利概率是 1/2
C. 无论怎么取舍,获胜的概率都是 1/2
D. 百折不挠原来的选料获胜概率更高
E. 采取另一个未曾被打开的盒子获胜概率更高
F. 赢球概率取决于随机因素(如小球的实际地方)

什么是蒙提霍尔题材?

图片 1

蒙提霍尔

蒙提霍尔问题,亦称作蒙特霍题材或三门题材(英文:Monty 哈尔(Hal)l
problem),是一个起源博弈论的数学游戏题材,大致出自美利哥的电视游戏节目Let’s
Make a Deal。问题的名字源于该节目标召集人蒙提·霍尔(Monty 哈尔l)。

中期的表明是:

参赛者会看见三扇关闭了的门,其中一扇的后面有一辆汽车,选中后边有车的这扇门就足以获取该汽车,而除此以外两扇门后边则各藏有一只山羊。当参赛者选定了一扇门,但未去开启它的时候,节目主持人开启剩下两扇门的其中一扇,暴露里边一只山羊。主持人其后会问参赛者要不要换另一扇依然关上的门。
题目是:换另一扇门会否增添参赛者赢得汽车的机会率?

这多少个古老的题材假诺指出就引起了可以的争辨,有人以为换与不换最后拿到车的票房价值都是1/2,有人觉得换门之后得到车的概率更大,应该采纳换门之后拿到车的几率为2/3在编著这篇著作的时候在果壳上再有人在为此争吵,知乎上也有众多关于这上头的议论,其实这一个争议很多情况下都是因这一个问题的歪曲表述所引起的,关键点在于主席对于门后的情状是不是精晓

  1. 一经主席事先知道哪些门里有山羊并且她特别选拔了有山羊的门打开了,那么参赛者应该换另一扇门,这可以将她胜利的票房价值从1/3升到2/3
  2. 如果主席事先不清楚哪些门里有山羊或者他只是随便的挑三拣四了一个门,但事实发现里面恰好是山羊。这时候参赛者没有换门的画龙点睛,胜利概率总是1/2

为了继承的商量,这里运用维基百科上对于这多少个题目的不马虎的定义

严厉的发挥如下:

  • 参赛者在三扇门中挑选一扇。他并不知道内里有咋样。
  • 主席知道每扇门前边有哪些。
  • 主持人必须拉开剩下的中间一扇门,并且必须提供换门的时机。
  • 主持人永远都会挑一扇有山羊的门。
    • 要是参赛者挑了一扇有山羊的门,主持人必须挑另一扇有山羊的门。
    • 万一参赛者挑了一扇有汽车的门,主持人随机在另外两扇门中挑一扇有山羊的门。
  • 参赛者会被问是否维持他的原本采用,如故转而挑选剩下的那一道门。

这就是说那多少个问题这足以很好的明亮了,引用维基的一幅图片解析:

图片 2

蒙提霍尔解答

有两种可能的状态,全体都有优良的可能性(1/3):

  • 参赛者挑汽车,主持人挑五头羊的其余一头。转换将失利。
  • 参赛者挑A羊,主持人挑B羊。转换将获取汽车。
  • 参赛者挑B羊,主持人挑A羊。转换将得到汽车。

于是玩家拔取换门之后获胜的概率应为2/3

二、解题

一起先观望那么些题的时候,本人果断的挑三拣四了 A
,然后再仔细想了一晃,不对啊,那题跟经典的三门问题很像,而且也要领悟玩家首先次采纳和是否改变采用的七个事件不是相互独立的,由此答案不是以此了,具体答案是何等呢?也欢迎读者留言写下团结的意见。

再则答案在此以前,先来打探一下经典的三门题材:

三门题材( Monty 哈尔(Hal)l problem
)亦称作蒙提霍尔问题、蒙特霍问题或蒙提霍尔悖论,大致出自美利哥的电视游戏节目
Let’s Make a Deal 。问题名字源于该节目标主席蒙提·霍尔( Monty 哈尔(Hal)l
)。参赛者会看见三扇关闭了的门,其中一扇的背后有一辆汽车,选中前边有车的这扇门可获取该汽车,此外两扇门前边则各藏有一只山羊。当参赛者选定了一扇门,但未去开启它的时候,节目主持人开启剩下两扇门的内部一扇,透露里面一只山羊。主持人其后会问参赛者要不要换另一扇依旧关上的门。问题是:换另一扇门会否增添参赛者赢得汽车的机率?假设严刻坚守上述的准绳,即主持人清楚地精晓,哪扇门后是羊,那么答案是会。不换门的话,赢得汽车的几率是1/3。换门的话,赢得汽车的几率是2/3。
以此题目亦被叫作蒙提霍尔悖论:尽管该问题的答案在逻辑上并不自相争持,但分外违背直觉。这问题曾引起阵阵霸气的商讨。

证明?

图片 3

蒙提霍尔解答

定义:

  • 事件A为一初叶玩家接纳的一扇门
  • 事件H为最后门后的结果

  • 要是是挑选不换门的策略

因为选拔的是不交流的方针,所有唯有一最先选中的是汽车,最终才能当选汽车。

  • 慎选互换门的国策

因为采纳的是换成的策略,所有只有一上马选中的是羊,最终才能入选汽车。

三门问题的解法:

三门问题一起有二种可能:
(1)参赛者挑山羊一号,主持人挑山羊二号。转换将拿到汽车。
(2)参赛者挑山羊二号,主持人挑山羊一号。转换将收获汽车。
(3)参赛者挑汽车,主持人挑羊一号。转换将破产和参赛者挑汽车,主持人挑羊二号。转换将失利,不会拿走汽车。

这边要小心了,第二种可能的时候,概率仍旧 1/3 ,因为
1/31/2+1/31/2=1/3 ,所以地点的两种可能都是相等的,都是 1/3
。从下边对的二种情景可以看来,如若参赛者重新采用另一扇门的话,
得到汽车的几率就会变成 2/3
,所以再度采取会愈来愈的便利。一开头这么些解释都不会让人服气的,因为这时候我们还在纠结的是一起始分配的票房价值是1/3,然后去除了一个没有汽车的门后,五个挑选,所以概率就是
1/2 ,还有一种纠结就是随便我们怎么选,两种状态,每一回接纳的概率都是 1/3
啊,当然,第两种采取很容易就给推翻了,因为主席明确的删减了一个不会拿到汽车的门,因而概率不会是
1/3
的。一最先自我也在纠结这一个,查了一晃,就经典的诠释就是把门的数据增多,比如:

目前摆在我们面前的有100扇门,只有内部一扇门后是汽车,而任何的99扇门后都是山羊。好了,你挑选中间一扇门。自然,你采纳汽车的票房价值唯有1/100。

下一场,知道汽车存放处的主席一口气打开了99扇门中的98扇,其背后都是山羊。此时您可以坚定不移最初的挑三拣四,也可以改变拔取。你是否应当改成选拔?你是否还觉得在你最初接纳的门与其它99扇门中绝无仅有没有打开的这扇门背后有汽车的几率是一律的?

事实是,假如您拒绝改变,你只有在一初阶就选用了不易的门的气象下才能收获汽车,这些概率只有1%。在此外99%的景色下,你最初选用的是一个后头是山羊的门,而另外的98扇已经开辟,你那时改变初期的抉择就足以成功。所以,在99%的几率下,改变采用是无可非议的。

三门题材是一个悟性接纳和时机博弈问题,是有关不完全新闻博弈中什么正确明白概率的意思和几率变化的问题。可见这一个题材我们仔细雕刻一下,依旧得以做出科学的取舍的。

眼看这多少个仍然不可能太令人承受,因而写个 JAVA 程序来模拟一下这多少个现象:

package com.liangdianshui;

import java.util.Random;

public class MontyHallProblem {

    public static void main(String[] args) {
        // 重复五次
        for (int i = 0; i < 4; i++) {
            montyHallProblem();
            System.out.println("----------------------------------");
        }
    }

    public static void montyHallProblem() {
        Random random = new Random(); // 这里不讨论Random为伪随机的问题
        int changeCount = 0;
        for (int i = 0; i < 1000000.0f; i++) { // 模拟一百万次
            // 假设有三个门
            int[] doors = new int[3];

            // 随机抽取一扇门 ,在门后放奖品
            int rIndex = random.nextInt(3);
            doors[rIndex] = 1;

            // 观众选的门号
            int randomSelect = random.nextInt(3);

            // 主持人从剩下的两扇门中排除一个
            while (true) {
                int randomDelete = random.nextInt(3);
                // 主持人不会打开参赛者已经选了的门(排除参赛者选择的门)
                if (randomDelete == randomSelect) {
                    continue;
                }
                // 主持人不会打开有奖品的门(排除有奖品的门)
                if (doors[randomDelete] == 1) {
                    continue;
                }

                for (int j = 0; j < 3; j++)// 换门
                {
                    if (j == randomSelect)// 不换门(因为我们要得到的是换门的概率,因此把不换门的排除掉)
                        continue;
                    // 排除主持人打开了那个门(因为门已经打开,所以不能换,排除掉)
                    if (j == randomDelete)
                        continue;
                    if (doors[j] == 1) {
                        changeCount++;// 换了门后中奖的次数
                        break;
                    }
                }
                break;
            }
        }
        System.out.println("换门中奖率:" + changeCount / 1000000.0f);
    }

}

最后运行的结果:

图片 4

三门题材JAVA运行结果

按照结果可见,这里再一次了三回,每回都仿效了一百万次的选项换门的场合,发现换门中奖的定义都是
0.66 左右,也就是 2/3 。

程序验证

推行是查验真理的唯一标准,在流言终结者看到他俩人工重复这么些实验区验证,发现这样很浪费时间。何通过电脑去去模拟这一段过程吧?
下边接纳python程序来效仿这一段过程:

from __future__ import division
import logging
from matplotlib import pyplot as plt
import numpy as np
import random


class MontyHall(object):
    """docstring for MontyHall"""

    def __init__(self, num=3):
        """
        创建一个door列表
        0 代表关门
        1 表示后面有车
        -1 代表门被打开
        """
        super(MontyHall, self).__init__()
        self.doors = [0] * num
        self.doors[0] = 1
        self.choice = -1
        self.exclude_car = False
        self.shuffle()

    def shuffle(self):
        """  
        开始新游戏
        重新分配门后的东西
        """
        if self.exclude_car == True:
            self.doors[0] = 1
            self.exclude_car = False
        for i in xrange(len(self.doors)):
            if self.doors[i] == -1:
                self.doors[i] = 0
        random.shuffle(self.doors)

    def make_choice(self):
        """
        player随机选择一扇门
        """
        self.choice = random.randint(0, len(self.doors) - 1)
        logging.info("choice: %d" % self.choice)
        logging.info("original: %s" % self.doors)

    def exclude_doors(self):
        """
        主持人知道门后的情况排除门
        直到剩余两扇门
        """
        to_be_excluded = []
        for i in xrange(len(self.doors)):
            if self.doors[i] == 0 and self.choice != i:
                to_be_excluded.append(i)  
        random.shuffle(to_be_excluded)
        for i in xrange(len(self.doors) - 2):
            self.doors[to_be_excluded[i]] = -1
        logging.info("final: %s" % self.doors)

    def random_exclude_doors(self):
        """
        主持人并不知道门后面的情况随机的开门
        直到剩余两扇门
        """
        to_be_excluded = []
        for i in xrange(len(self.doors)):
            if self.doors[i] != -1 and i != self.choice:
                to_be_excluded.append(i)  
        random.shuffle(to_be_excluded)
        for i in xrange(len(self.doors) - 2):
            if self.doors[to_be_excluded[i]] == 1:
                self.exclude_car = True
            self.doors[to_be_excluded[i]] = -1
        logging.info("final: %s" % self.doors)

    def change_choice(self):
        """
        player改变选择
        """
        to_change = []
        for i in xrange(len(self.doors)):
            if self.doors[i] != -1 and i != self.choice:
                to_change.append(i)
        self.choice = random.choice(to_change)
        logging.info("choice changed: %d" % self.choice)

    def random_choice(self):
        """
        player 第二次随机选择门
        """
        to_select = []
        for i in xrange(len(self.doors)):
            if self.doors[i] != -1:
                to_select.append(i)
        self.choice = random.choice(to_select)
        logging.info("random choice : %d" % self.choice)


    def show_answer(self):
        """
        展示门后的情况
        """
        logging.info(self.doors)

    def check_result(self):
        """
        验证结果
        """
        got_it = False
        if self.doors[self.choice] == 1:
            got_it = True
        return got_it

总结

可见我们那些面试题跟三门问题着力均等,所以末了摘取的答案是E,也就是采纳另一个并未被打开的盒子赢球概率更高。因为我也没有官方的答案,如果有异议的话,可以开展留言。或者有错的地点,也可进展留言指出,本人会第一时间举办转移。

效仿1000轮,每一轮重复试验1000次

  • 不转移采取:

def unchange_choice_test(n):
    """
    不改变初始的选择
    """
    result = {}
    game = MontyHall()
    for i in xrange(n):
        game.shuffle()
        game.make_choice()
        game.exclude_doors()
        if game.check_result():
            result["yes"] = result.get("yes", 0) + 1
        else:
            result["no"] = result.get("no", 0) + 1
    for key in result:
        print "%s: %d" % (key, result[key])
    return result["yes"] / n

if __name__ == '__main__':
    logging.basicConfig(format='%(levelname)s:%(message)s', level=logging.WARNING)
    results = []
    test_num = 1000
    round_num = 1000
    for x in xrange(0,round_num):
        results.append(change_random_test(test_num) )

    y_mean = np.mean(results)
    y_std = np.std(results)
    x = range(0,round_num)
    y = results
    plt.figure(figsize=(8,4))

    plt.xlabel("round")
    plt.ylabel("frequency")
    plt.title("The frequency of the success")
    tx = round_num / 2
    ty = y_mean
    label_var = "$\sigma \left( X \\right)=$%f" % y_std
    label_mean = "$ X =$%f" % y_mean
    p1_label = "%s and %s" % (label_var,label_mean)
    p1 = plt.plot(x,y,"-",label=p1_label,linewidth=2)
    plt.legend(loc='upper left')


    pl2 = plt.figure(2)
    plt.figure(2)
    plt.hist(results,40,normed=1,alpha=0.8)
    plt.show()

结果:

图片 5

此间输入图片的叙述

概率分布:

图片 6

这边输入图片的讲述

打响的几率均值在 1/3 附近

  • 更改选取:

def change_choice_test(n):
    """
    交换选择的门
    """
    result = {}
    game = MontyHall()
    for i in xrange(n):
        game.shuffle()
        game.make_choice()
        game.exclude_doors()
        game.change_choice()
        if game.check_result():
            result["yes"] = result.get("yes", 0) + 1
        else:
            result["no"] = result.get("no", 0) + 1
    for key in result:
        print "%s: %d" % (key, result[key])
    return result["yes"] / n

一样的点子绘图得到结果:

图片 7

此地输入图片的叙述

概率分布:

图片 8

此处输入图片的讲述

马到成功的几率均值在 2/3 附近

经过下面的剖析与模拟可知最佳的国策当然就是换门。

更为深刻的座谈

  • 假使门的多寡不断是3个,假设是50扇门呢?

图片 9

此处输入图片的叙述

这种情况下,主持人打开48扇都是羊的门后,再给您挑选,很四人那么些时候应该就不会固守这1/2,而会拔取换门
把门的数量增大到100,1000,这种情况会愈发扎眼。
仍然通过一段程序模拟表达:

def change_choice_test_large(n,m):
    """
    交换选择的门
    """
    result = {}
    game = MontyHall(m)
    for i in xrange(n):
        game.shuffle()
        game.make_choice()
        game.exclude_doors()
        game.change_choice()
        if game.check_result():
            result["yes"] = result.get("yes", 0) + 1
        else:
            result["no"] = result.get("no", 0) + 1
    for key in result:
        print "%s: %d" % (key, result[key])
    return result["yes"] / n


if __name__ == '__main__':
    logging.basicConfig(format='%(levelname)s:%(message)s', level=logging.WARNING)
    results = []
    test_num = 1000
    round_num = 1000
    for x in xrange(0,round_num):
        results.append(change_choice_test_large(test_num,50) )

结果:

图片 10

图片 11

这会儿就要接纳交换门

  • 遇上这种场地我很纳闷,我控制抛硬币决定,这些时候成功的概率?

这是第3种政策,成功的概率和硬币有关,也就是1/2,这种状态就是从剩下的门中随机采取一扇,这一个方针从下面分析来看不是最好的,可是比不改动的国策要好。
先后的模仿结果:

图片 12

此处输入图片的叙说

图片 13

这里输入图片的讲述

  • 比如说门意外打开的情状吧,也就是地点描述的第两种情景(主持在不知门后的意况下打开门呢)?

这种意况下实际就是一个口径概率,事件A是玩家最终开到的是车,事件B是主席打开的门是羊。

因为只有主席开到是羊的动静下,玩家才有可能开到车所以

设玩家首先次采纳的门为事件C

  • 不交换策略下的条件概率是:

QQ截图20150510140602.png

  • 换成策略下的原则概率是:

之所以在主持人不知底门后的事态下打开一扇,然后发现门后是羊的状态下,换门与不换门最后的概率都是1/2
还可以透过程序举行效仿:

def unknown_doors_choice_test(n):
    """
    主持人并不知道门后面的情况随机的开门
    交换选择的门
    """
    result = {}
    game = MontyHall()
    continue_count = 0
    for i in xrange(n):
        game.shuffle()
        game.make_choice()
        game.random_exclude_doors()
        game.change_choice()
        if game.exclude_car == False:
            continue_count += 1
        if game.check_result():
            result["yes"] = result.get("yes", 0) + 1
        else:
            result["no"] = result.get("no", 0) + 1
    #for key in result:
    #    print "%s: %d" % (key, result[key])
    logging.info("continue_count: %d" % continue_count)
    if continue_count == 0:
        return 0.0
    return result["yes"] / continue_count   

图片 14

这边输入图片的叙述

图片 15

此地输入图片的讲述

在这种景色下互换门也从未进步成功的票房价值


总结

前日写的这篇东西也好不容易了然我时辰候的一个不满,人的直觉有时候是很不可靠,要脱身个人局限的体会才能抱抱更大的世界。
怎么?看完这么些分析,你还认为不合意那么你还足以从上边的参照中找寻更好的分析,本文撰写过程有一部分的图形引用自一下的参阅,即便您还有疑难欢迎你联系自身进一步的琢磨。

练习

下面是三门问题的多个翻版,引用自三门题材及连锁

女孩的概率

  • 你结交一位新情人,问她是不是有男女。她说有,有多少个。你问,有女孩吧?她说有。那么,多个都是女孩的概率是有些?

答:三分之一。因为生三个孩子的可能性有四种等可能:BB、GG、BG、GB(即男男、女女、男女、女男)。
因为我们已知至少有一个姑娘,所以BB是不可能的。因而GG是可能出现的五个等可能的结果之一,所以六个男女都是幼女的票房价值为三分之一。这对应了三门题材的首先种处境。

  • 您结交一位新情人,问他是否有男女。她说有,有多少个。你问,有女孩吧?她说有。第二天,你瞧瞧他带了一个小女孩。你问她,这是您姑娘啊?她说,是。她的五个子女都是女孩的票房价值是有些?

其一概率和生女孩的几率一样,二分之一。这不啻异常想得到,因为大家所具备的音讯看起来并不比第一种意况时多,但概率却今非昔比。但是此间的问题莫过于是,这么些你没>见过的孩子是女孩的几率是稍稍?那一个概率和生女孩的票房价值一样,二分之一。
那对应了三门问题的第两种境况。当然这里也有语言问题,必须假定这位三姑不是一定带出一个小女孩来给您看的。也就是说你只是刚刚发现了它是位小女孩。这有赖于是判定采纳或q
随机接纳。假诺是被你刚刚撞见这是属于擅自挑选。那就对应了三门题材的第二种情景。这实际上是充实了消息的。否则一经她积极带一个小女孩过来给您,则属于判断采取。
你取得的答案依赖于所讲的故事;它凭借于您是何等获悉至少一个孩子是女孩的。

三罪犯问题

  • Adam、比尔(比尔)和Charles被关在一个铁栏杆里,唯有监狱看守知道谁会被判死刑,此外两位将会释放。有1/3的概率会被处死刑的Adam,给她妈妈写了一封信,想要获释的比尔(比尔(Bill))或查尔斯(Charles)帮助代寄。当亚当问看守他应该把她的信交给比尔依旧Charles时,那位具有同情心的防御很为难。他觉得假如他把即将获释的人的名字告诉亚当(Adam),那么Adam就会有1/2的几率被判死缓,因为剩下的人和亚当(Adam)这五人中肯定有一个人被行刑。如果她不说这音信,Adam被处决的概率是1/3。既然Adam知道其他几人中必有一人会放出,那么亚当(Adam)自己被处决的概率怎么可能会因为看守告诉她另外两个人中被获释者的全名后而更改呢?

正确的答案是:看守不用当心,因为即使把自由人的全名告诉亚当(Adam),Adam被处死的票房价值依旧是1/3,没有改动。但是,剩下的这位没被点名的人就有2/3的几率被行刑(被行刑的可能进步了)。假诺这么些问题换一种说法,就是防守无意间暴露了查理不会死。那么几率就会暴发转移。
其一实在和三门问题是同样的。你可以把狱卒当成主持人,被处死当成是大奖,那么这些是对应于三门问题的率先种情状,就是主持人知道门前边的意况。狱卒说出何人会被放飞,相当于主席打开一扇门。但是因为三囚徒问题不可能选拔,也就一定于三门问题中的不换门的政策。最终的票房价值仍旧1/3是没有发生变更的。
为了防止生出歧义,规定一下:
1.万一(亚当(Adam),Charles)被保释,那么狱卒会报告Adam:”查尔斯(Charles)被放出”。
2.若是(亚当,比尔(比尔(Bill)))被放飞,那么狱卒会告诉Adam:”比尔被释放”
3.比方(查尔斯(Charles),比尔(Bill))被放出,那么狱卒会以1/2的概率告诉亚当(Adam):”查尔斯(Charles)被放走”或者”比尔(Bill)被放飞”
趣味就很强烈了,在看守说出比尔(比尔(Bill))被保释的尺度下,Adam被放出的概率是?用口径概率算一下。
概念事件:

A :狱卒说出”比尔(Bill)被假释”
B :代表Adam被保释。

图片 16

那什么时候才是1/2的几率呢?
规则3更改为:假设(查尔斯(Charles),比尔(比尔))被假释,那么狱卒会告知Adam”比尔(比尔(Bill))被保释”
本条时候统计就是:

图片 17

那如果规则3改为:假若(查理(Charles),比尔)被释放,那么狱卒会告知Adam”查理被假释”
其一时候:Adam被放出的概率就会变成1
问题在于规则2和规则3下说”比尔(Bill)被假释”不是等概率发生的。

类似的问题还有

  • 抛两枚硬币其中有一枚硬币是端庄,问两枚硬币都是体面的概率是?
  • 抛两枚硬币其中第一枚硬币是正经,问两枚硬币都是正当的概率是?

the end.


参考:

  1. 蒙提霍尔问题 –
    维基百科,自由的百科全书

  2. 三扇门问题 |
    左岸读书

  3. 蒙提霍尔问题(又称三门问题、山羊汽车问题)的正解是何等?

  4. 趣味编程:三门问题

  5. 三门题材及相关

  1. 换依旧不换?争议没有停下过的三门题材

  2. 在「三门题材」中,出席者应该选用「换」依然「不换」?主持人是否精晓门后情况对结论有何影响?

  3. THE MONTY HALL
    PROBLEM

  4. 流言终结者第九季

  5. 某个家庭中有 2
    个娃娃,已知其中一个是女孩,则另一个是男孩的票房价值是稍微?-网易

  6. 从贝叶斯定律的角度驾驭“蒙提霍尔题材”和“五个囚徒问题”

  7. 两个罪犯问题,求解?


履新日志:

  • 2015-05-20 扩充三囚徒问题的解答
  • 2015-05-09 第一次作文

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