下面是第二主干定理的证实,S(t)是距离关于时间的函数

微积分次之着力定理

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  这里需要注意t与x的涉及,它的意味是一个函数可以找到相应的积分格局去表达。假如F’=f,则:

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  下边是第二主干定理的印证。

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  注解需要运用画图法,如上图所示,曲线是y=f(x),六个黑影部分的面积分别是G(x)和ΔG(x),其中:

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  当Δx丰富刻钟:

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微积分次之大旨定理

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  这里需要注意t与x的涉及,它的情致是一个函数可以找到呼应的积分情势去表述。倘使F’=f,则:

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  下面是第二主旨定律的表达。

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  注明需要使用画图法,如上图所示,曲线是y=f(x),多少个黑影部分的面积分别是G(x)和ΔG(x),其中:

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  当Δx丰富时辰:

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微积分先是为主定律

  如果F’(x) = f(x),那么:

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  假若将F用不定积分表示,F
=∫f(x)dx,微积分第一要旨定理可以看作为是六个天翻地覆积分赋予特定的值,再用符号连接起来,总结具体的数值。

  这里引入一个新标志:

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  于是:

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示例1

  710官方网站 14

  遵照微积分第二为主定理,
710官方网站 15,f(t) =
1/t2,f(x) = 1/x2

  下面做一下声明。

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示例1

  710官方网站 17

  遵照微积分第二主题定律,
710官方网站 18,f(t) =
1/t2,f(x) = 1/x2

  下面做一下表达。

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示例1

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示例2

  解微分方程, L’(x) = 1/x; L(1) =
0

  按照以往的求解格局:

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  现在按照微积分第二主导定理,可以直接写作:

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  那种表明式其实是比过去的对数形式更实惠的一种表明。

示例2

  解微分方程, L’(x) = 1/x; L(1) =
0

  遵照以往的求解情势:

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  现在基于微积分第二主干定理,可以一向写作:

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  这种表达式其实是比过去的对数情势更实用的一种表明。

示例2

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第二着力定律的链式法则

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  由于积分上界是x2,所以不符合标准的第二主干定律,求解这类问题的貌似步骤是使用链式法则求解。

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  这种求解方法具有通用性,积分上界是此外函数都可以用该措施求解。

其次着力定律的链式法则

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  由于积分上界是x2,所以不符合标准的第二主干定理,求解这类问题的相似步骤是利用链式法则求解。

 710官方网站 29

  这种求解方法具有通用性,积分上界是其余函数都可以用该格局求解。

示例3

  f(x) =
sinx,求下图阴影部分的面积

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  这实在是积分的几何意义。

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超过函数

  微积分第二中坚定理能够汲取很多新函数。上边是一个事例:

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  710官方网站 33 就是举世有名的高斯函数。

710官方网站 34

  f(x)表示x>=0时,曲线与x轴的面积,f(x)就是一个超过函数。超过函数最有意思的地方是,它不可能用过去的此外代数函数表示出来,包括对数、指数、三角函数等,只有用微积分才能有效地发挥。下图就是一个抢先函数
710官方网站 35的曲线:

 710官方网站 36 

领先函数

  微积分第二主干定律可以得出很多新函数。上边是一个事例:

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  710官方网站 38 就是响当当的高斯函数。

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  f(x)表示x>=0时,曲线与x轴的面积,f(x)就是一个跨越函数。超越函数最有意思的地点是,它不可以用过去的任何代数函数表示出来,包括对数、指数、三角函数等,只有用微积分才能使得地发挥。下图就是一个超越函数
710官方网站 40的曲线:

 710官方网站 41 

再看积分的几何意义

  假设s =
S(t)是离开关于时间的函数,这刹那间速度就是S’(t) = ds/dt =
V(t),从岁月a到时刻b所通过的离开是:

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  dt = 1秒,用黎曼和表示:

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  V(t)就是汽车仪表盘上的进度,
 710官方网站 44不畏行驶的路程。

  假使行驶一段时间后回头,再回去出发点,依照黎曼和表示法将会现出相反的快慢,最终的结果是0。这样看来,
710官方网站 45 表示的就是位移而不是行驶里程,其里程应当是  710官方网站 46

  再来看一个例证,曲线是sinx,0 ≤ x ≤
2π,求曲线和x轴间多少个驼峰的面积。

710官方网站 47

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  这一定不对了,原因是上篇作品论及的概念:“
710官方网站 49是y=0,x=a,x=b,y=f(X)所围成图形的面积”并不完全正确。当曲线在x轴上方是,定积分才是面积;在红尘是,面积(积分值)是负的。从前的几何解释是不完全的,它掩盖了某些事实,关于定积分真正的几何解释是:定积分是x轴上方的面积减去x轴下方的面积。

综上所述示范

综述示范

定积分的性能

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示例1 

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示例1 

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定积分的换元法

  变量替换是定积分的另一个性质,这些特性结合了风雨飘摇积分的换元法(关于换元法的讲述:数学笔记11——微分和动荡积分)。定积分换元法性质:

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  这一个特性仅在u’在积分限上不变号时才使得,即u’(x)和u(x)在[x1,
x2]上必须同号。

示例2

710官方网站 54

  首先来看二阶像样的概念(关于近似和二阶近似可参看数学笔记6——线性近似和二阶近似):

  当x≈x0=0时

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  对于本例:

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  前提条件是f在0附近是可微的。

 


  作者:我是8位的

  出处:http://www.cnblogs.com/bigmonkey

  本文以学习、研商和享用为主,如需转载,请联系我,标明作者和出处,非商业用途! 

 

示例2

710官方网站 57

  首先来看二阶好像的概念(关于近似和二阶近似可参看数学笔记6——线性近似和二阶近似):

  当x≈x0=0时

 710官方网站 58

  对于本例:

 710官方网站 59

  前提条件是f在0附近是可微的。

 


  作者:我是8位的

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示例1

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示例2

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  这是不易答案。假如运用换元法:

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  答案是漏洞百出的,其违反了定积分换元法的束缚原则,u
= x2, u’ = 2x,当x = -1时,u’ = -2,当x = 1时, u’ = 2,
u’不同号。对于此例,du = 2xdx实际上应该是 dx =±
u-1/2du/2

再看率先定律

  如果F’(x) = f(x)

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  这是定理的正统模式,用F去解释f。现在换个角度,用f去了然F,可以写成:

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  仅仅是扭曲写了两次,但这种样式对今后的通晓至关首要。现在,

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   等式的左侧可以看作f的均值:

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  average(f)需要用黎曼和分解。假如a = 0,
b = n,Δx=1,

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710官方网站,  等式左边是离散意况下的均值,左侧是连连状况下的均值,假诺是计量面积,左侧要尤其纯粹。倘若用ΔF
= Average(F’)
Δx理解第一骨干定理,就是F的该变量等于其微小转移的平均值乘以流逝的时间。

中值定理

  在此以前介绍过中值定理:f(x)在[a,
b]上连续,f(x)在(a,b)内可导,且 a < c < b,

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  换成上一节的写法就是

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  F’(C)是不确定的,而首先为主定律得到了一个确定的值。可以将中值定理看作第一中央定律的泛化,第一主导定律要比中值定理更“强”。事实上,只要可以利用第一主题定律,就不去采纳中值定理。

  既然是中值定理,就决然存在:

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第一着力定律与中值定理结合

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示例

  F’(x) = 1/(1 + x), F(0) = 1,
F(4)的取值范围?

 

  解法一:用中值定理求解

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  解法二:用微积分求解

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  综上,4/5 < F(4) < 5

  可以用画图法了解微积分求解, 710官方网站 74被积函数是y=1,
 710官方网站 75被积函数是y=1/5

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  如上图所示,∫dx/(1+x)总括的是 y =
1/(1+x)在[0,4]内与x轴的面积;最大值和最小值是将曲线变成一个矩形,这足以看作是节俭的黎曼和。微积分之所以更加规范,正是因为将曲线分成了更多的矩形。

归咎示范

示例1

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  第二个姿态也可以用上述办法总结,可是可以利用更简明的格局直接拿走答案。

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  如上图所示,tanx 在[-π/3,
π/3]上是有关原点对称的,按照定积分的几何意义,x轴上方的面积减去x轴下方的面积,故可以从来得出答案0。

  注:

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示例2

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总结

  1.定积分第一中坚定律:假若F’(x) =
f(x),那么:710官方网站 81

  2.定积分的几何意义是x轴上方的面积减去x轴下方的面积。

  3.定积分的属性:

710官方网站 82  4.定积分换元法

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