GA参数取暗中认可值(以下未松口的GA参数都取默许值),给出一组数办事处列入表柒–第22中学

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① 
曲线拟合的线性最小二乘法及其MATLAB程序

 图片 1

 

 

图片 2

图片 3

例7.2.1 
给出1组数根据地列入表七–第22中学,试用线性最小二乘法求拟合曲线,并用(7.二),(柒.叁)和(7.4)式估量其模型误差,作出拟合曲线.

图片 4

图片 5

 

 

图片 6

表柒–二  例7.贰.1的壹组数据

 

 

xi

-2.5  -1.7    -1.1    -0.8     0      0.1    1.5    2.7    3.6

yi

-192.9  -85.50  -36.15  -26.52   -9.10  -8.43  -13.12   6.50   68.04

 

 

 

     
###############################################

 

解 (1)在MATLAB工作窗口输入程序

      #                测试函数                     #

4.0新功能 (预定2010年8月6日):

>> x=[-2.5 -1.7 -1.1  -0.8  0 0.1  1.5  2.7 3.6];

     
###############################################

壹:扶助复数拟合、复数方程组总结;

    y=[-192.9 -85.50 -36.15-26.52 -9.10 -8.43 -13.12  6.50  68.04];

 

二:辅助微分方程拟合求解;

plot(x,y,’r*’),

#1. De jong 函数F1 

叁:通用全局优化求解器变异成效,优化工夫加强百分之二十以上;

legend(‘实验数据(xi,yi)’)

#   min f1(x1,x2,x3) = x1^2+x2^2+x3^2;  -5.12<=x1,x2,x3<=5.12;

四:新的编制程序形式总结引擎;

xlabel(‘x’), ylabel(‘y’),

#   八个非常的小点f1(0,0,0)=0 

五:壮大易用的数据批管理拟合成效

title(‘例七.二.一的数分部(xi,yi)的散点图’)

#     《遗传算法原理及应用》周明 孙树栋 编慕与著述 p1贰伍。

陆:公式自动寻找:增添越来越多的贰维、三个维度函数库;

运转后显示屏显示数据的散点图(略).

#   GA参数取私下认可值(以下未松口的GA参数都取私下认可值)

7:立异的积分计算,拟合,解方程可含积储分函数,帮忙高斯积分和Simpson积分算法

(3)编纂下列MATLAB程序总结在处的函数值,即输入程序

#   xu注:注意,含下标的变量在变量定义域表明式的意味方式要和数学表明式

八:三维图形旋转、缩放、移动等职能

>> syms a1 a2 a3 a4

#         中的1致!

九:?号输入,可动态输入常数。

x=[-2.5 -1.7 -1.1  -0.8  0 0.1  1.5  2.7 3.6];

#

10:参数定义尤其方便人民群众自由:Parameter 0<=a<=⑩, b=[1,3];

fi=a1.*x.^3+ a2.*x.^2+ a3.*x+ a4

      x1^2+x2^2+x3^2;  -5.12<=x1,x2,x3<=5.12;

1壹:越多的数学函数协理:Wrap、Wrap0…

运营后显示器呈现关于a1,a2,
a
3a4的线性方程组

 

1二:协理越多职能的重要字:FileWeight,OutWeight…

fi =[
-125/8*a1+25/4*a2-5/2*a3+a4,-4913/1000*a1+289/100*a2-17/10*a3+a4,-1331/1000*a1+121/100*a2-11/10*a3+a4,       -64/125*a1+16/25*a2-4/5*a3+a4, 

     

一三:重复计算时自动记录每一趟结果

a4,       1/1000*a1+1/100*a2+1/10*a3+a4,       27/8*a1+9/4*a2+3/2*a3+a4,
19683/1000*a1+729/100*a2+27/10*a3+a4, 
5832/125*a1+324/25*a2+18/5*a3+a4]

      # 以连加情势表示上式(只好够字母i为变量下标):

1肆:Exp函数总括修正,与Matlab等保持1致:Exp(-3^0.二三)->
Exp(-(3^0.2叁))

编写制定构造标称误差平方和的MATLAB程序

   

15:….

>> y=[-192.9 -85.50 -36.15 -26.52 -9.10 -8.43 -13.12 
6.50 68.04];

      sum(1, 3, xi^2);   -5.12<=xi<=5.12;

3.0新功能 (2009年5月1日):

fi=[-125/8*a1+25/4*a2-5/2*a3+a4,-4913/1000*a1+289/100*a2-17/10*a3+a4,-1331/1000*a1+121/100*a2-11/10*a3+a4, -64/125*a1+16/25*a2-4/5*a3+a4,      a4,
1/1000*a1+1/100*a2+1/10*a3+a4,            
27/8*a1+9/4*a2+3/2*a3+a4,19683/1000*a1+729/100*a2+27/10*a3+a4,   5832/125*a1+324/25*a2+18/5*a3+a4];

    

New in 3.0

fy=fi-y; fy2=fy.^2; J=sum(fy.^2)

      sum(1, 3, x[i]^2); -5.12<=x[i]<=5.12;

壹:重新规划的与别的高等语言的接口,特别便利与C++, Fortran, Basic,
帕斯Carl等语言的浑编联合浮动。

运转后荧屏展现基值误差平方和如下

 

二:增添新的算法:稳健全局优化算法。

J=

      # 内定 i 或 k 或 j 等字母为变量下标的连加情势表明式:

三:立异了离子群和最大承袭算法,优化本事越来越强。

(-125/8*a1+25/4*a2-5/2*a3+a4+1929/10)^2+(-4913/1000*a1+289/100*a2-17/10*a3+a4+171/2)^2+(-1331/1000*a1+121/100*a2-11/10*a3+a4+723/20)^2+(-64/125*a1+16/25*a2-4/5*a3+a4+663/25)^2+(a4+91/10)^2+(1/1000*a1+1/100*a2+1/10*a3+a4+843/100)^2+(27/8*a1+9/4*a2+3/2*a3+a4+328/25)^2+(19683/1000*a1+729/100*a2+27/10*a3+a4-13/2)^2+(5832/125*a1+324/25*a2+18/5*a3+a4-1701/25)^2

      # 表明:当内定某字母为变量下标,其变量名就不可能含该字母 !

四:扩充了常微分方程(ODE)的求解成效,算法蕴涵:龙格-库塔-费尔博格法(Runge-Kutta-Fehlberg
Method)、欧拉算法(Euler
Method)、二-5阶龙格-库塔算法(Runge-Kutta
Method),不只有能求解一般的初值ODE方程,还是可以解特殊方式的ODE方程,对边值难点的ODE方程也能轻巧求解。

为求使到达最小,只需选取极值的需要条件 ,获得关于的线性方程组,那能够由下边的MATLAB程序实现,即输入程序

 

5:对线性规划难点自动鉴别,速度更加快。

>>syms a1 a2 a3 a4

      sumx(1, 3, i, xi^2);    -5.12<=xi<=5.12;

六:越来越灵敏的LoopConstant定义:LoopConstant d=[2,(max(x,1))];

J=(-125/8*a1+25/4*a2-5/2*a3+a4+1929/10)^2+(-4913/1000*a1+289/100*a2-17/10*a3+a4…+171/2)^2+(-1331/1000*a1+121/100*a2-11/10*a3+a4+723/20)^2+(-64/125*a1+16/25*a2-4/5*a3+a4+663/25)^2+(a4+91/10)^2+(1/1000*a1+1/100*a2+1/10*a3+a4+843/100)^2+(27/8*a1+9/4*a2+3/2*a3+a4+328/25)^2+(19683/1000*a1+729/100*a2+27/10*a3+a4-13/2)^2+(5832/125*a1+324/25*a2+18/5*a3+a4-1701/25)^2;

 

7:与Vista兼容

Ja1=diff(J,a1);Ja2=diff(J,a2);  Ja3=diff(J,a3);Ja4=diff(J,a4);

      sumx(1, 3, k, xk^2);    -5.12<=xk<=5.12;

八:编制程序方式扩展对新鲜函数的支持(Erf, Erfc, Gamma, Bessel…)

Ja11=simple(Ja1),Ja21=simple(Ja2), Ja31=simple(Ja3), Ja41=simple(Ja4),

 

9:Parameter对For的支持。

运行后显示器展现J分别对a1, a2 ,a3
,a4的偏导数如下

      sumx(1, 3, j, xj^2);    -5.12<=xj<=5.12;

10:拟合总结停止举办展望时,可计算每一点的导数

Ja11=

 

11:SubDivision、RunNext与Inherit功能

56918107/10000*a1+32097579/25000*a2+1377283/2500*a3+23667/250*a4-8442429/625

      # 变量下标带 [ ] 的连加方式表明式: 

1二:LogFile自动保存功用

Ja21=

 

13:RowData、RowDataSet与EndRowDataSet关键字

32097579/25000*a1+1377283/2500*a2+23667/250*a3+67*a4+767319/625

      sumx(1, 3, i, x[i]^2);  -5.12<=x[i]<=5.12; 

1四:越发有益于的Sum(),Prod()和For()语句

Ja31=

 

一伍:3D图形新格式:点状三维图

1377283/2500*a1+23667/250*a2+67*a3+18/5*a4-232638/125

 

1陆:“复苏刚关门的公文“成效

Ja41=

#1-a  min f(x) = sum(1, 100, (x-0.5)^2);

….

23667/250*a1+67*a2+18/5*a3+18*a4+14859/25

#     0<=xi<=1.0; i=1, 2, …, 100;

2.5新功能 (2006年10月7日):

解线性方程组Ja11 =0,Ja21=0,Ja31
=0,Ja41 =0,输入下列程序

#     最优解:f(0.5, 0.5, …, 0.5) = 0

一:特别奇妙、稳健的通用全局优化才干

>>A=[56918107/10000,32097579/25000, 1377283/2500, 23667/250;
32097579/25000, 1377283/2500,23667/250, 67; 1377283/2500, 23667/250, 67,
18/5; 23667/250, 67, 18/5, 18];

#  

1:对Basic的周详协理

B=[8442429/625,-767319/625, 232638/125, -14859/25];

      sum(1, 100, (xi-0.5)^2); 0<=xi<=1.0;

2:参数型变量难题的拟合(未知中间变量):ParVariable

C=B/A,f=poly2sym(C)

 

三:带积分的拟合和函数优化

运营后荧屏展现拟合函数f会同周全C如下

 

4:隐函数优化算法的改良,速度扩展十倍

C=    5.0911  -14.1905   6.4102   -8.2574

#1-1. * De jong 函数F贰 , 又称 Rosonbrock马鞍函数

5:隐函数拟合算法的改良:TradImplicit, ImplicitRange

f=716503695845759/140737488355328*x^3

#     min f2(x1,x2) = 100*(x1^2-x2)^2+(1-x1)^2;  

陆:BatchFile: 文件批管理成效

-7988544102557579/562949953421312*x^2

#     它具有叁个大局相当小点f(一,一)=0 .该函数纵然

七:StepReg:稳步拟合功用

+1804307491277693/281474976710656*x

#     是单峰值函数,但它却是病态的(螺旋型),难以进行全局十分小化。

8:CodeSheet:代码本表格,帮衬直接从表格中读取数据

-4648521160813215/562949953421312                    

#     摘自: 《遗传算法原理及利用》p1二五

玖:代码本呈现格局:单业、多业和下拉

故所求的拟合曲线为

#

10:LoopConstant、FullLoopModel:自动循环计算功效

.

#     这函数是二参数、单极值的非三遍函数,但在x2=x一处有一狭

11:Constant a(1:3)=[1,2,3] -> Constant a = [1,2,3]

(4)编纂上边包车型大巴MATLAB程序揣测其基值误差,并作出拟合曲线和数码的图形.输入程序

#     长深谷,其最小值在(x壹,x二)=(1,一)时,min f=0,

12:WeightReg:灵活多变、大4方式的带权重拟合

>> xi=[-2.5 -1.7 -1.1  -0.8  0 0.1  1.5  2.7 3.6];

#     寻优中大概陷入局地解.

一三:PassParameter:编制程序方式下帮衬回到总括变量

   y=[-192.9 -85.50 -36.15 -26.52 -9.10-8.43 -13.12  6.50  68.04];

#

1四:参数初值自动选拔尤其智能、健壮,适应范围更广

n=length(xi);

#     罗斯nbrock 函数是三个二维单峰值函数,具备三个大局比不大点

1伍:RegType:最小2乘法、最小一乘法等不等式样拟合

f=5.0911.*xi.^3-14.1905.*xi.^2+6.4102.*xi -8.2574;

#     f(壹.0,1.0)=0.0,但它却是病态的,在函数曲面上沿着曲线x二=x1^二

1陆:MDataSet,EndMDataset:网络节点数据自动转至矩阵数据

x=-2.5:0.01: 3.6;

#     有一条较为狭窄的谷底,守旧的梯度优化措施搜索到谷边缘时,往往

一七:HotRun:设定自动热总结及计算次数

F=5.0911.*x.^3-14.1905.*x.^2+6.4102.*x -8.2574;

#     会发生共振,难以进行全局优化。

1捌:Sum,Prod,For更简短写法

fy=abs(f-y); fy2=fy.^2; Ew=max(fy),

#     但它在全局十分小点临近的超长区域内取值变化极为缓慢, 可用于商议

1玖:编制程序格局下得以一贯定义二维参变量

E1=sum(fy)/n, E2=sqrt((sum(fy2))/n)

#     算法的寻找品质。

20:Plot、PlotLoopData:迭代总计进程中进一步助长、壮大的动态图表表示方法

plot(xi,y,’r*’), hold on, plot(x,F,’b-‘), hold off

#     摘自:多点正交交叉的遗传算法 刘 清等

二1:众多更上壹层楼及Bug校正

legend(‘数分局(xi,yi)’,’拟合曲线y=f(x)’),

#     xu注:当变量定义域表明式中留存一个以上的变量时得用’,’分隔!

2.0新功能 (2006年10月7日):

xlabel(‘x’), ylabel(‘y’),

#

壹:求解非线性方程组成效急剧改良,【麦夸特法+通用全局优化算法】已成为解非线性方程组的首推算法,其校正后的求解技艺总体上强于任何别的算法。

title(‘例柒.2.1的数总局(xi,yi)和拟合曲线y=f(x)的图形’)

     100*(x1^2-x2)^2+(1-x1)^2;   -2.048<=x1,x2<=2.048;

二:最大非常的小优化难点求解 (Min马克斯):一种多指标优化求解效率。

运转后荧屏呈现数据与拟合函数f的最大抽样误差Ew,平均标称误差E1和均方根固有误差E2连同数总局和拟合曲线y=f(x)的图形(略).

    

3:智能拟合功效:该功用尤其符合于数据量比很大时的拟合,可好数倍甚至数10倍裁减计算时间,数据量越大,效果越显明。

Ew =           E1 =              E2 =

     100*(x1^2-x2)^2+(1-x1)^2;   -10.0<=x1,x2<=10.0;

四:创新的万分轻巧落成的带等式或不等式约束的拟合

3.105 4         0.903 4           1.240 9

 

5:算法自动选择成效:对于刚(Yu-Gang)接触壹stOpt的用户来讲,由于不知晓各算法的表征及适用范围,常不能明显如何接纳算法,该作用可依附难题的品类自动接纳算法。

 

     100*(x1^2-x2)^2+(1-x1)^2;   -100.0<=x1,x2<=100.0;

陆:函数说明式以脚本语言描述表明效用:对于复杂、繁琐、冗长的标题,可透过脚本语言来说述

7.三  函数的精选及其MATLAB程序

 

7:常字符串数组表达功效:定义字符串数组效能

 

     

例:ConstStr S(1:3) = [x1^2+x2, x1*x2-x2^2, sin(x1)+x2];

例7.3.1
 
提交壹组实验数分局的横坐标向量为x=(-八.伍,-8.七,-七.壹,-六.八,-5.十,-4.5,-3.陆,-3.四,-贰.6,-二.伍,-2.壹,-1.五,
-2.7,-三.六),驰骋坐标向量为y=(45九.二6,5二.八1,1玖捌.贰七,165.60,5玖.一柒,4一.66,二五.九二,2二.3柒,一3.四柒,
1贰.87,
11.捌七,陆.6九,1肆.八七,2四.2二),试用线性最小2乘法求拟合曲线,并用(7.二),(7.叁)和(七.四)式推测其测量误差,作出拟合曲线.

#1-2. De jong 函数F3

等同于:ConstStr S1 = x1^2+x2, S2 = x1*x2-x2^2, S3 = sin(x1)+x2;

解  (1)在MATLAB工作窗口输入程序

#    min f3(x1,x2,…,x5)=sum(integer(xi)); 

例:ConstStr S(1:3) = x2*[x1^2+x2, x1*x2-x2^2, sin(x1)+x2];

>>x=[-8.5,-8.7,-7.1,-6.8,-5.10,-4.5,-3.6,-3.4,-2.6,-2.5,
-2.1,-1.5,-2.7,-3.6];

#    -5.1二<=xi<=-伍.1二   i=壹,二,…,伍    那是一个不总是函数,

等同于:ConstStr S1 = x2*(x1^2+x2), S2 = x2*(x1*x2-x2^2), S3 =
x2*(sin(x1)+x2);

y=[459.26,52.81,198.27,165.60,59.17,41.66,25.92, 22.37,13.47,
12.87,11.87,6.69,14.87,24.22];

#    该函数参数多,不可导,是5参数的阶梯函数,

捌:公式拟合自动物检疫索时体面方式寻觅效果

plot(x,y,’r*’),legend(‘实验数据(xi,yi)’)

#    在 -5.1二<=xi<=-5.0 区域内的每一点,它都取全局比比较小值:

玖:0-一企划,更正数值范围溢出难题

xlabel(‘x’), ylabel(‘y’),

#    f3(x1,x2,x3,x4,x5)= -30。

拾:公式自动拟合库中,增添诸多峰函数

title(‘例7.叁.1的数据点(xi,yi)的散点图’)

#    摘自:《遗传算法原理及运用》p12五

1一:约束函数一连发布功效:

运转后屏幕突显数据的散点图(略).

#

例:10.3>=x1+sin(x2)*x3>=0

(3)编辑下列MATLAB程序计算在处的函数值,即输入程序

     floor(x1)+ floor(x2)+floor(x3)+floor(x4)+floor(x5); 
-5.12<=x1,x2,x3,x4,x5<=5.12;

等同于:

>> syms a b

 

x1+sin(x2)*x3>=0;

x=[-8.5,-8.7,-7.1,-6.8,-5.10,-4.5,-3.6,-3.4,-2.6,-2.5,-2.1,-1.5,-2.7,-3.6];
fi=a.*exp(-b.*x)

     sum(1, 5, floor(xi));   -5.12<=xi<=5.12;

x1+sin(x2)*x3<=10.3;

运维后显示屏显示关于ab的线性方程组

 

例:Parameter x1[0.5,0.66], x4[0.04,0.2], x7[,0.035];

fi =

     sumx(1, 5, i, floor(xi)); -5.12<=xi<=5.12;

MinFunction
0.44*x1+0.94*x2+0.88*x3+0.48*x4+4*x5+3.4*x6+2.3*x7+0.12*x8+1.6*x9+19*x10+25*x11;

[ a*exp(17/2*b), a*exp(87/10*b), a*exp(71/10*b), 
a*exp(34/5*b), a*exp(51/10*b),   a*exp(9/2*b),  a*exp(18/5*b), 
a*exp(17/5*b),  a*exp(13/5*b),   a*exp(5/2*b), a*exp(21/10*b),  
a*exp(3/2*b), a*exp(27/10*b),  a*exp(18/5*b)]

 

3230*x1+2640*x2+2500*x3+1730*x4+2900*x5+2230*x6+2500*x7>2750;

编纂构造相对误差平方和的MATLAB程序如下

 

8.27*x1+43*x2+40*x3+15.4*x4+62*x5+50*x6+45*x7>15;

>>y=[459.26,52.81,198.27,165.60,59.17,41.66,25.92,22.37,13.47,12.87,
11.87,6.69,14.87,24.22];

#1-3 De Jong 函数F4

8.27*x1+43*x2+40*x3+15.4*x4+62*x5+50*x6+45*x7<16;

fi =[ a*exp(17/2*b),a*exp(87/10*b),
a*exp(71/10*b), a*exp(34/5*b), a*exp(51/10*b),  a*exp(9/2*b), 
a*exp(18/5*b),  a*exp(17/5*b),  a*exp(13/5*b),   a*exp(5/2*b),
a*exp(21/10*b),   a*exp(3/2*b), a*exp(27/10*b), 
a*exp(18/5*b)];

#    min f4(x1,x2,…,x30)=sum(i*xi^4)+rnd;

0.038*x1+0.32*x2+0.32*x3+0.14*x4+3.91*x5+4.6*x6+33.4*x8+21*x9>2.85;

fy=fi-y;

#    -1.28<=xi<=1.28, i=1,2,…,30;  

0.038*x1+0.32*x2+0.32*x3+0.14*x4+3.91*x5+4.6*x6+33.4*x8+21*x9<3;

fy2=fy.^2;

#    那是二个含噪声rnd的陆次函数,当不思索噪声的震慑时,它具备

0.058*x1+0.15*x2+0.14*x3+0.32*x4+2.9*x5+2.15*x6+0.14*x8+18.5*x9>0.5;

J=sum(fy.^2)

#    二个大局非常的小值f四(0,0,…,0)=0。

0.058*x1+0.15*x2+0.14*x3+0.32*x4+2.9*x5+2.15*x6+0.14*x8+18.5*x9<0.55;

运作后显示器展现基值误差平方和如下

#    摘自:《遗传算法原理及采纳》p1二5

0.26*x1+2.45*x2+2.41*x3+0.54*x4+4.35*x5+3.28*x6+2.6*x7+99*x11>0.8;

J =

#    原De Jong 函数,该噪声是分布为N(0,一)的高斯随机变量

0.125*x1+0.48*x2+0.51*x3+0.18*x4+1.65*x5+1.31*x6+0.65*x7+99*x10>0.31;

(a*exp(17/2*b)-22963/50)^2+(a*exp(87/10*b)-5281/100)^2+(a*exp(71/10*b)-19827/100)^2+(a*exp(34/5*b)-828/5)^2+(a*exp(51/10*b)-5917/100)^2+(a*exp(9/2*b)-2083/50)^2+(a*exp(18/5*b)-648/25)^2+(a*exp(17/5*b)-2237/100)^2+(a*exp(13/5*b)-1347/100)^2+(a*exp(5/2*b)-1287/100)^2+(a*exp(21/10*b)-1187/100)^2+(a*exp(3/2*b)-669/100)^2+(a*exp(27/10*b)-1487/100)^2+(a*exp(18/5*b)-1211/50)^2

#    RandG(0,1)。据文献介绍,当函数不存在全局最小值时,该函数

0.298*x1+1.08*x2+1.4*x3+0.58*x4+2.21*x5+1.74*x6+0.83*x7+99*x10>0.58;

为求使达到最小,只需使用极值的须求条件,获得有关的线性方程组,那足以由上面包车型客车MATLAB程序达成,即输入程序

#    是有瑕疵的。

0.298*x1+1.08*x2+1.4*x3+0.58*x4+2.21*x5+1.74*x6+0.83*x7+99*x10<0.63;

>>syms a b

#    为此,有人提出以均匀布满的[0,一)的随机变量代替之。那可保障

0.077*x1+0.6*x2+0.6*x3+0.27*x4+0.8*x5+0.64*x6>0.19;

J=(a*exp(17/2*b)-22963/50)^2+(a*exp(87/10*b)-5281/100)^2+(a*exp(71/10*b)-19827/100)^2+(a*exp(34/5*b)-828/5)^2+(a*exp(51/10*b)-5917/100)^2+(a*exp(9/2*b)-2083/50)^2+(a*exp(18/5*b)-648/25)^2+(a*exp(17/5*b)-2237/100)^2+(a*exp(13/5*b)-1347/100)^2+(a*exp(5/2*b)-1287/100)^2+(a*exp(21/10*b)-1187/100)^2+(a*exp(3/2*b)-669/100)^2+(a*exp(27/10*b)-1487/100)^2+(a*exp(18/5*b)-1211/50)^2;

#    最小值定位于0。

x2+x3>0.1;

Ja=diff(J,a);Jb=diff(J,b);

#    Quartic [F4] is a simple unimodal function padded with noise.

x2+x3<0.22;

Ja1=simple(Ja),Jb1=simple(Jb),

#    The gaussian noise makes sure that the algorithm never gets

x5+x6>0.03;

运作后显示屏展现J分别对的偏导数如下

#    the same value on the same point.Algorithms that do not do

x5+x6<0.07;

Ja1=

#    well on this test function will do poorly on noisy data.

x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x10+x11=1;

2*a*exp(3*b)+2*a*exp(17*b)+2*a*exp(87/5*b)+2*exp(68/5*b)*a+2*exp(9*b)*a+2*a*exp(34/5*b)-669/50*exp(3/2*b)-1487/50*exp(27/10*b)-2507/25*exp(18/5*b)-22963/25*exp(17/2*b)-5281/50*exp(87/10*b)-19827/50*exp(71/10*b)-2237/50*exp(17/5*b)-1656/5*exp(34/5*b)-1347/50*exp(13/5*b)-5917/50*exp(51/10*b)-1287/50*exp(5/2*b)-2083/25*exp(9/2*b)-1187/50*exp(21/10*b)+4*a*exp(36/5*b)+2*a*exp(26/5*b)+2*a*exp(71/5*b)+2*a*exp(51/5*b)+2*a*exp(5*b)+2*a*exp(21/5*b)+2*a*exp(27/5*b)

#   

可写为:

Jb1=

     sum(1,30,i*xi^4)+RandG(0,1); -5.12<=xi<=5.12;

Parameter x1[0.5,0.66], x4[0.04,0.2],x7[,0.035];

1/500*a*(2100*a*exp(21/10*b)^2+8500*a*exp(17/2*b)^2+6800*a*exp(34/5*b)^2-10035*exp(3/2*b)-40149*exp(27/10*b)-180504*exp(18/5*b)-3903710*exp(17/2*b)-459447*exp(87/10*b)-1407717*exp(71/10*b)-76058*exp(17/5*b)-1126080*exp(34/5*b)-35022*exp(13/5*b)-301767*exp(51/10*b)-32175*exp(5/2*b)-187470*exp(9/2*b)-24927*exp(21/10*b)+7100*a*exp(71/10*b)^2+5100*a*exp(51/10*b)^2+4500*a*exp(9/2*b)^2+7200*a*exp(18/5*b)^2+3400*a*exp(17/5*b)^2+2600*a*exp(13/5*b)^2+2500*a*exp(5/2*b)^2+1500*a*exp(3/2*b)^2+2700*a*exp(27/10*b)^2+8700*a*exp(87/10*b)^2)

   

MinFunction
0.44*x1+0.94*x2+0.88*x3+0.48*x4+4*x5+3.4*x6+2.3*x7+0.12*x8+1.6*x9+19*x10+25*x11;

用解贰元非线性方程组的Newton法的MATLAB程序求解线性方程组Ja1=0,Jb1
=0,得

     sum(1,30,i*xi^4)+rand(0,1); -5.12<=xi<=5.12;

3230*x1+2640*x2+2500*x3+1730*x4+2900*x5+2230*x6+2500*x7>2750;

a=            b=

 

16>8.27*x1+43*x2+40*x3+15.4*x4+62*x5+50*x6+45*x7>15;

2.8110        0.581 6

 

3>0.038*x1+0.32*x2+0.32*x3+0.14*x4+3.91*x5+4.6*x6+33.4*x8+21*x9>2.85;

故所求的拟合曲线(7.一三)为

#1-4 De Jong 函数F5  

0.55>0.058*x1+0.15*x2+0.14*x3+0.32*x4+2.9*x5+2.15*x6+0.14*x8+18.5*x9>0.5;

e.                  (7.14)

#    min f5(x1,x2)=1/(1/500+sum(1/(j+sum((xi-aij)^6)))),

0.26*x1+2.45*x2+2.41*x3+0.54*x4+4.35*x5+3.28*x6+2.6*x7+99*x11>0.8;

(4)听大人讲(7.贰),(7.三),(7.四)和(7.14)式编写上面包车型地铁MATLAB程序估算其引用误差,并做出拟合曲线和数量的图形.输入程序

#    -65.536<=xi<=65.536, j=1,2,…,25; i=1,2;

0.125*x1+0.48*x2+0.51*x3+0.18*x4+1.65*x5+1.31*x6+0.65*x7+99*x10>0.31;

>> xi=[-8.5 -8.7 -7.1  -6.8  -5.10 -4.5 -3.6 -3.4 -2.6 -2.5
-2.1 -1.5  -2.7  -3.6];

#    a1j= -32,-16,0,16,32,       -32,-16,…,0,16,32

0.63>0.298*x1+1.08*x2+1.4*x3+0.58*x4+2.21*x5+1.74*x6+0.83*x7+99*x10>0.58;

y=[459.26  52.81  198.27 165.60   59.17   41.66  25.92 22.37   13.47  
12.87   11.87    6.69   14.87  24.22];

#    a2j= -32,-32,-32,-32,-32,   -16,-16,…,32,32,32

0.077*x1+0.6*x2+0.6*x3+0.27*x4+0.8*x5+0.64*x6>0.19;

n=length(xi); f=2.8110.*exp(-0.5816.*xi); x=-9:0.01: -1;

#    它一同有2四个部分不大值,其中有贰个是大局非常小值:

0.22>x2+x3>0.1;

F=2.8110.*exp(-0.5816.*x); fy=abs(f-y); fy2=fy.^2; Ew=max(fy),

#     f5(-32,-32)=0.998。  

0.07>x5+x6>0.03;

E1=sum(fy)/n, E2=sqrt((sum(fy2))/n), plot(xi,y,’r*’),hold on

#    摘自:《遗传算法原理及运用》p1二5

x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x10+x11=1;

plot(x,F,’b-‘), hold off,

#    该函数是兼具 二 5 个稀疏尖峰的多模态函数。

1二:矩阵总括,基本函数求导总计

legend(‘数分局(xi,yi)’,’拟合曲线y=f(x)’)

#    xu注:  本程序鲜明常数项一维数组命名字为c, 二维数组命名称叫a,

壹三:带权重的拟合功效

xlabel(‘x’), ylabel(‘y’),

#          即分别以c[j]和a[i,j]表示。

1肆:带约束的超越方程求解

 title(‘例七.3.一的数办事处(xi,yi)和拟合曲线y=f(x)的图形’)

#          它们的2组数据就可以记录在同一txt文件中,也可各自记

一伍:For语句,帮忙循环表明式

运营后显示器展现数据与拟合函数f的最大固有误差Ew = 390.14一5,平均固有误差E1=3陆.94二 贰和均方根截断误差E2=十陆.031柒及其数总局和拟合曲线y=f(x)的图形(略).

#          录在1个例外的txt文件中。文件应封存在本土文件夹内。

1陆:支持活动重新计算

 

#            该数学表达式的常数项数组可调用1-四 ConstTermsData.txt

壹7:革新的展望/验证功用

七.四  多项式拟合及其MATLAB程序

#          给予输入。

1八:DataSet,AutoData定义数据时,可钦定起初基数:

例7.4.1 
给出一组数总部列入表柒–③中,试用线性最小二乘法求拟合曲线,并用(7.二),(七.叁)和(7.4)式估算其抽样误差,作出拟合曲线.

#    xu注:min f( -31.97833, -31.97833 ) = 0.998003840

缺省时,初阶基数为一

表柒–三  例7.四.壹的壹组数据

#          若是f5(x1,x2)=0.002+sum(1/(j+sum((xi-aij)^6)))

例:

xi

-2.9   -1.9   -1.1   -0.8      0     0.1     1.5    2.7     3.6

yi

53.94  33.68  20.88  16.92  8.79   8.98    4.17   9.12   19.88

#          min f = 0.00200

DataSet;

解  (一)首先依照表七–叁交给的数根据地,用下列MATLAB程序画出散点图.

 

EndDataSet:

在MATLAB职业窗口输入程序

     1/(1/500+sumx(1,25,j,1/(j+sumx(1,2,i,(xi-a[i,j])^6)))); 
-65.536<=xi<=65.536;

例:AutoData x = 1:1:10;

>> x=[-2.9 -1.9  -1.1 -0.8  0  0.1 1.5  2.7  3.6];

 

例:定义发轫基数为0

y=[53.94  33.68  20.88 16.92  8.79  8.98 4.17  9.12  19.88];

     1/(0.002+sumx(1,25,j,1/(j+sumx(1,2,i,(xi-a[i,j])^6)))); 
-65.536<=xi<=65.536;

DataSet [Base = 0];

plot(x,y,’r*’), legend(‘数据点(xi,yi)’)

    

EndDataSet:

xlabel(‘x’), ylabel(‘y’),

     0.002+sumx(1,25,j,1/(j+sumx(1,2,i,(xi-a[i,j])^6))); 
-65.536<=xi<=65.536;

例:AutoData[Base = 0] x = 1:1:10;

title(‘例七.4.1的数根据地(xi,yi)的散点图’)

 

19:增加IFF关键字

运作后荧屏展现数据的散点图(略).

 

20:代码中一直从Excel表单和1stOpt石英钟格中读取数据:必须内定文件名、表单名及数码范围

(3)用作线性最小贰乘拟合的多项式拟合的MATLAB程序求待定周全 .输入程序

#2. Schaffer函数

例:从Excel文件“C:\Data1.xls”中的“Sheet1”中读取数据进行拟合总括,数据范围从A一到B20

>>a=polyfit(x,y,2)

#   min f(x一, x二), 该函数在(x[1], x[2])=(0,0)处有三个大局最小值0。

Function y = a + b*x + Exp(c*x);

运作后输出(柒.1陆)式的周到

#

DataFile C:\Data1.xls[Sheet1[A1:B20]];

a =

   
0.5+((sin(sqrt(x[1]^2+x[2]^2))*sin(sqrt(x[1]^2+x[2]^2))-0.5)/((1.0+0.001*(x[1]^2+x[2]^2))*(1.0+0.001*(x[1]^2+x[2]^2))));  
-100<=x[1],x[2]<=100;

二1:常数接二连三定义:

2.8302   -7.3721   9.1382

   

例:Constant A(1:3) = 2;

故拟合多项式为 

    0.5+((sin(sqrt(x1^2+x2^2)))^2-0.5)/(1.0+0.001*(x1^2+x2^2))^2;
-100<=x1,x2<=100;

等同于 Constant A1 = 2, A2 = 2, A3 = 2;

.

 

例:Constant A(1:3) = 10*[1,2,3];

(4)编辑上面包车型客车MATLAB程序估量其相对误差,并做出拟合曲线和数目标图形.输入程序

   
0.5+((sin(sqrt(pow(x1,2)+pow(x2,2))))^2-0.5)/(1.0+0.001*(pow(x1,2)+pow(x2,2)))^2;
-100<=x1,x2<=100;

等同于 Constant A(1:3) = [10,20,30];

>>  xi=[-2.9 -1.9 -1.1  -0.8  0  0.1  1.5 2.7  3.6];

 

22:加强的编制程序方式,可周到机关管理放四多的等式及不等式约束,对于复杂的带约束的工程难题,可轻便求解。

y=[53.94  33.68 20.88  16.92  8.79 8.98  4.17  9.12 19.88];

 

二三:立异定义多维常数、参数时出现的难题

n=length(xi);f=2.8302.*xi.^2-7.3721.*xi+9.1382

#3. * Schaffer函数

1.5新功能 (2006年4月18日):

x=-2.9:0.001:3.6;F=2.8302.*x.^2-7.3721.*x+8.79;

#   在其定义域内只有一个大局不大点min f(0,0)=0, 
-十0<=x一,x二<=100;

一:单纯形线性规划算法中,可进展整数规划、混合整数规划计算。

fy=abs(f-y);fy2=fy.^2; Ew=max(fy), E1=sum(fy)/n,

#

二:编制程序格局中,对约束规范的全自动管理效果。

E2=sqrt((sum(fy2))/n),plot(xi,y,’r*’, x,F,’b-‘),

    ((x^2+y^2)^0.25)*((sin(50*(x^2+y^2)^0.1)^2)+1.0);
-5.12<=x,y<=5.12;

三: 权重拟合成效

legend(‘数分局(xi,yi)’,’拟合曲线y=f(x)’)

 

4:结果数据自动保存效能。

xlabel(‘x’), ylabel(‘y’),

    ((x1^2+x2^2)^0.25)*((sin(50*(x1^2+x2^2)^0.1)^2) +1.0); 
-10<=x1,x2<=10;

5:同一代码本中,全部标题同时求解成效。

 title(‘例7.肆.一的数分部(xi,yi)和拟合曲线y=f(x)的图形’)

 

陆:函数优化预测核算功用

运维后荧屏突显数据与拟合函数f的最大标称误差Ew,平均抽样误差E1和均方根截断误差E2会同数分局(xi,yi)和拟合曲线y=f(x)的图形(略).

    pow(pow(x1,2)+pow(x2,2),
0.25)*(pow(sin(50*pow((x1^2+x2^2),0.1)),2)+1.0); 
-100<=x1,x2<=100;

柒:数据自动发出成效: 关键字: AutoData

Ew=             E1 =                E2 =

 

例:AutoData X = 1:1:10, Y = X^2+X;

0.7457,          0.389 2,            0.436 3

 

等同于:Constant X(1:10) = [1,2,3,4,5,6,7,8,9,10];

 

#3-1 min f=sum(1, D-1, pow(x[i+1]^2+x[i]^2, 0.25)

Constant Y(1:10) = [2,6,12,20,30,42,56,72,90,110];

柒.5  拟合曲线的线性别变化换及其MATLAB程序

#          *(1.0+pow(sin(50.0*pow(x[i+1]^2+x[i]^2, 0.1)), 2))),

八: 循环语句关键字:For,支持无穷镶套

 

#    -100<=x[i],x[i+1]<=100,  i=1,2,…,D-1;

例:For(i=1:3)(x[i]>=A[i]*i);

例7.5.1  交由1组实验数根据地的横坐标向量为x=(7.伍  六.8 5.10 
四.五  三.陆  叁.四 二.陆  二.五  二.一 壹.伍  二.七 
3.陆),驰骋坐标向量为y=(35玖.2陆 1陆5.605玖.17 四一.6陆 二伍.玖二 2贰.3柒 
一三.四7 1贰.871一.八柒 陆.6玖 1四.八7 
二四.2二),试用线性别变化换和线性最小2乘法求拟合曲线,并用(七.二),(柒.叁)和(7.4)式猜想其抽样误差,作出拟合曲线.

#    其min f(0,0,…,0)=0;  其全局十分的小点与临近的片段一点都不大点之间

等同于: x[1] >=A[1]*1;

解  (1)先是依据提交的数办事处,用下列MATLAB程序画出散点图.

#    有High barrier height.是衍变算法的优良测试函数。

x[2] >=A[2]*2;

在MATLAB专门的学业窗口输入程序

#    摘自:《火速演变算法商量》 高飞等。

x[3] >=A[3]*3;

>>x=[7.5  6.8  5.10 4.5  3.6  3.4 2.6  2.5  2.1 1.5  2.7  3.6];

 

九: 新扩大特殊密度布满函数:BetaCDF, BetaPDF, BinoCDF, BinoPDF, Chi2CDF,
Chi二PDF, ExpCDF,
ExpPDF, PoissCDF, PoissPDF, TCDF, TPDF

y=[359.26  165.60  59.17 41.66  25.92  22.37 13.47  12.87  11.87
6.69 14.87   24.22];

    sum(1, 9, pow(x[i+1]^2+x[i]^2,
0.25)*(1.0+pow(sin(50.0*pow(x[i+1]^2+x[i]^2, 0.1)), 2)));
-100<=x[i],x[i+1]<=100;

拾:增添函数求导计算效能

plot(x,y,’r*’), legend(‘数据点(xi,yi)’)

 

例:(x*exp(x+sin(x)))’ ==>

xlabel(‘x’), ylabel(‘y’),

    sum(1, 29, pow(x[i+1]^2+x[i]^2,
0.25)*(1.0+pow(sin(50.0*pow(x[i+1]^2+x[i]^2, 0.1)), 2))); 
-100<=x[i],x[i+1]<=100;

diff(x*exp(x+sin(x)),x) = exp(x+sin(x))+exp(x+sin(x))*(1+cos(x))*x

title(‘例7.伍.一的数办事处(xi,yi)的散点图’)

 

diff(x*exp(x+sin(x)),x=3) = exp(x+sin(x))+exp(x+sin(x))*(1+cos(x))*x
= 23.82417126

运作后荧屏展现数据的散点图(略).

 

11:新增:

(2)依据数据散点图,取拟合曲线为

#4. * Schaffer’s 函数

BinParameter: 定义0-1变量;

          e ,            (7.19)

#   此函数只有1个小小的值点min f(0,0)=-壹;

IntParameter: 定义正整数变量;

其中是待定周密.令,则(7.1九)化为.在MATLAB职业窗口输入程序

#   该最小值点相近有成都百货上千局地极值点,变成贰圈圈沟,其函数值分别为

ParameterDomain:定义变量范围;

>>x=[7.5  6.8  5.10 4.5  3.6  3.4 2.6  2.5  2.1  1.5 2.7  3.6];

#   -0.9902捌三和-0.96277陆,因而很轻易陷入在那个相当小点处。

PlotXYZData:画三个维度数据图;

y=[359.26  165.60 59.17  41.66  25.92 22.37  13.47  12.87 11.87 6.69 
14.87   24.22]; 

#   注:也可按多峰值函数管理,效果亦佳。

PlotMeshData:画三个维度网格数据图;

Y=log(y); a=polyfit(x,Y,1);B=a(1);A=a(2); b=B,a=exp(A)

#

PlotPoint3D:画三个维度点图;

n=length(x); X=8:-0.01:1; Y=a*exp(b.*X); f=a*exp(b.*x);

    (sin(sqrt(x^2+y^2))^2-0.5)/(1+0.001*(x^2+y^2))^2 -0.5;
-100<x,y<100;

1二:众多校正,运转更迅捷、稳固。

plot(x,y,’r*’,X,Y,’b-‘), xlabel(‘x’),ylabel(‘y’)

 

不当改正:

legend(‘数分公司(xi,yi)’,’拟合曲线y=f(x)’)

 

一:函数表明式中冒出空格显错的主题材料。

title(‘例七.5.一的数分部(xi,yi)和拟合曲线y=f(x)的图形’)

#四-壹 Schaffer 函数, 此函数有多个大局最大值解 max f(0,0)=一.0 。

2:拟合时,用“DataFile”调用外部数据文件出错。

fy=abs(f-y); fy2=fy.^2; Ew=max(fy), E1=sum(fy)/n, E2=sqrt((sum(fy2))/n)

#    该最大值点周边有两圈圈脊,取值分别为0.99028肆 和0.96277陆,

3:用超越五回“DataSet- EndDataSet”定义数据时出错

运维后显示器展现e的周详b =0.624 1,a =2.703
九,数据与拟合函数f的最大标称误差Ew =6七.641
9,平均相对误差E1=八.67七 六和均方根固有误差E2=20.71一3及其数根据地和拟合曲线e的图片(略).

#    而且那么些有个别极值与最大值间的值差非常小,因而,优化进度中极易

4:拟合时,用“SkipStep“出错。

 

#    停滞在那些片段极值点处。因此,该函数可以很好地质度量量发展算法

五:函数中冒出诸如“二E+十“时显错的标题。

7.陆  函数逼近及其MATLAB程序

#    的性能.

陆: 别的大多Bugs

至上均方逼近的MATLAB主程序

#

function
[yy1,a,WE]=zjjfbj(f,X,Y,xx)

   
0.5-((sin(sqrt(x^2+y^2)))^2-0.5)/(1.0+0.001*(x^2+y^2))^2;-100<x,y<100;

m=size(f);n=length(X);m=m(1);b=zeros(m,m);c=zeros(m,1);

 

if n~=length(Y)

 

    error(‘X和Y的维数应该一样’)

#4-2 Multimodal sine envelope sine wave function.

end

#    min f=sum(1, D-1, 0.5+((sin(sqrt(x[i+1]^2+x[i]^2)))^2

for j=1:m

#     -0.5)/(1.0+0.001*(x[i+1]^2+x[i]^2))^2),

    for k=1:m

#     -100<=x[i],x[i+1]<=100, i=1,2,…,D-1;

        b(j,k)=0;

#    该函数有多个大局不大值 min f(0, 0,…, 0)=0,  该全局非常小点

        for i=1:n

#    被广大的有些比较小点所环绕, 并且全局非常的小点与这几个片段十分的小点之

        b(j,k)=b(j,k)+feval(f(j,:),X(i))*feval(f(k,:),X(i));

#    间存在相当的大值点。该函数是批评演变算法全局收敛性及追寻品质的

        end

#    卓绝函数。 

    end

#    摘自:快捷衍生和变化算法研究  高飞等.

    c(j)=0;

#

    for i=1:n

     sum(1, 9,
0.5+((sin(sqrt(x[i+1]^2+x[i]^2)))^2-0.5)/(1.0+0.001*(x[i+1]^2+x[i]^2))^2);
-100<=x[i],x[i+1]<=100;

        c(j)=c(j)+feval(f(j,:),X(i))*Y(i);

 

    end

     sum(1, 29,
0.5+((sin(sqrt(x[i+1]^2+x[i]^2)))^2-0.5)/(1.0+0.001*(x[i+1]^2+x[i]^2))^2);
-100<=x[i],x[i+1]<=100;

end

 

a=b\c;

 

WE=0;

#4-3 min f(x1,x2)=(((sin(sqr(x1^2+x2^2))^2-0.5)

for i=1:n

#                /(1+0.001*(x1^2+x2^2))^2))-0.5;  -4<=x1,x2<=4;

     ff=0;

#   其全局最优值在点(0,0).在大局最优值周边有无穷个取值一样的一些

for j=1:m

#   最优值,且性态震荡强烈,一般的优化算法很难找到其全局最优解, 因

ff=ff+a(j)*feval(f(j,:),X(i));

#   此平日被国内外大多大家用于对优化难点的测试.

end

#   摘自: Tang W, Guo ZM, Tang JH, Li DP. Optimizing complex

WE=WE+(Y(i)-ff)*(Y(i)-ff);

#   functions by chaos genetic algorithm. Journal of Harbin

end

#   Engineering University, 2000,21(5):1~5 (in Chinese with

if nargin==3

#   English abstract).

    return;

#   其全局最优的纯正解为(f=0.3679, x一=0, x2=0 ?);

end

#   xu注:f(x1,x2) = -1.00000, x1=0, x2=0; 

yy=[];

#

for i=1:m

    (((sin(sqrt(x1^2+x2^2)))^2-0.5)/(1.0+0.001*(x1^2+x2^2))^2)-0.5; 
-4<=x1,x2<=4;

    l=[];

 

    for j=1:length(xx)

 

        l=[l,feval(f(i,:),xx(j))];

#5. * Shubert函数 

    end

#   min f(x,y)=(sum(i*cos((i+1)*x)+i))*(sum(i*cos((i+1)*y)+i)),

    yy=[yy l’];

#   i=1:5, -10<=x,y<=10

end

#   该函数是3个多模态函数, 在其定义域内集体全部7五贰10个部分最小点,

  yy=yy*a; yy1=yy’;a=a’;WE;

#   其中的1八 个点是全局最小点f = -1八陆. 73壹 ,

 

#   由此该函数对于测试小生境遗传算法质量是卓殊适合的.

例7.6.1  对数据XY,
用函数实行逼近,用所得到的临界函数计算在处的函数值,并臆想标称误差.在那之中

#   摘自: MICHALEWICZ Z.

X=(1  3  4 5  6  7  8  9); Y=(-11  -13  -11  -7  -1 7  17 
29).

#   Genetic Algorithms + Data Structures = Evolution Programs [M] .

解  在MATLAB专业窗口输入程序

#   Beijing :Science Press ,2000 :1 – 128.

>> X=[ 1 3  4  5 6  7  8  9];Y=[-11  -13  -11  -7 -1  7 
17 29];

#   xu注:取小生境距=0.50~0.80, 最优保存数=22

f=[‘fun0′;’fun1′;’fun2’];[yy,a,WE]=zjjfbj(f,X,Y,6.5)

 

运营后显示器展现如下

   
(cos(2*x[1]+1)+2*cos(3*x[1]+2)+3*cos(4*x[1]+3)+4*cos(5*x[1]+4)+5*cos(6*x[1]+5))*(cos(2*x[2]+1)+2*cos(3*x[2]+2)+3*cos(4*x[2]+3)+4*cos(5*x[2]+4)+5*cos(6*x[2]+5)); 
-10<= x[1],x[2]<=10;

yy =

 

  2.75000000000003

    sum(1,5,i*cos((i+1)*x1+i))*sum(1,5,i*cos((i+1)*x2+i));
-10<=x1,x2<=10;

a =

 

 -7.00000000000010 -4.99999999999995  1.00000000000000

    sum(1,5,i*cos((i+1)*x+i))*sum(1,5,i*cos((i+1)*y+i));
-10<=x,y<=10;

WE =

 

   7.172323350269439e-027

 

例7.6.2
 对数据XY,用函数,,e,进行逼近,个中X=(0 0.50
1.00 1.50 2.00 2.503.00),Y=(0 0.4794 0.8415 0.9815 0.9126
0.59850.1645).

#5-1  f(x)=sum(1,5,i*cos((i+1)*x1+i))*sum(1,5,i*cos((i+1)*x2+i))

在MATLAB工作窗口输入程序

           +(x1+1.42513)^2+(x2+0.80032)^2;

>> X=[ 0  0.50  1.00 1.50  2.00  2.50  3.00];

#    where -10 ≤ xi ≤ 10, i = 1, 2. There are about 760 local minima

Y=[0 0.4794  0.8415  0.9815 0.9126  0.5985  0.1645];

#    and one global minimum f* = -176.1375 at x* = (-1.3068,-1.4248).

f=[‘fun0′;’fun1′;’fun2′;’fun3′;’fun4′;’fun5’];xx=0:0.2:3;

#    Levy No. 5-1 is identical to Levy No. 5 except for the addition

[yy,a,WE]=zjjfbj(f,X,Y, xx),plot(X,Y,’ro’,xx,yy,’b-‘)

#    of a quadratic term. The large number of local optimizers makes

运营后显示屏展现如下(图略)

#    it extremely difficult for any approximation method to find the

yy =  Columns1 through 7

#    global minimizer.

-0.0005   0.2037    0.3939    0.5656   0.7141    0.8348   0.9236

#    摘自:《An Evolutionary Algorithm for Minimizing Multimodal

  Columns 8through 14

#          Functions》D.G. Sotiropoulos, V.P. Plagianakos and M.N.

0.9771   0.9926    0.9691    0.9069   0.8080    0.6766    0.5191

#          Vrahatis University of Patras, Department of Mathematics,

  Columns 15through 16

#          Division of Computational Mathematics & Informatics,

   0.3444    0.1642

#    xu注:f( -1.42513, -0.80032 ) = -186.730911255 ?

a = 0.3828   0.4070   -0.3901    0.0765  -0.4598    0.5653

 

WE = 1.5769e-004

     sum(1, 5,
i*cos((i+1)*x1+i))*sum(1,5,i*cos((i+1)*x2+i))+(x1+1.42513)^2+(x2+0.80032)^2; 
-10<=x1,x2<=10;

即,最棒逼近函数为

 

y=0.3828+0.4070*x-0.3901*x^2+0.0765*exp(x)-0.4598*cos(x)
+0.5653*sin(x).

 

 

#6. Shubert函数

柒.柒  三角多项式逼近及其MATLAB程序

#   该函数有几个全局最小值-2肆.06249九,位于(x,y):

计量三角多项式的MATLAB主程序

#   (-6.774576,-6.774576)、(-6.774576,-0.491391)、

function
[A,B,Y1,Rm]=sanjiao(X,Y,X1,m)

#   (-6.774576,5.791794)、(-0.491391,-6.774576)、

n= length(X)-1;max1=fix((n-1)/2);

#   (-0.491391,-0.491391)、(-0.491391,5.791794)、

if m > max1

#   (5.791794,-6.774576)、(5.791794,-0.491391)、

    m=max1;

#   (5.791794,5.791794)

end

#   取最优保存数=10~1贰, 别的暗中认可值。

A=zeros(1,m+1);B=zeros(1,m+1);

#

Ym=(Y(1)+Y(n+1))/2; Y(1)=Ym; Y(n+1)=Ym; A(1)=2*sum(Y)/n;

   
-(sin(2*x+1)+2*sin(3*x+2)+3*sin(4*x+3)+4*sin(5*x+4)+5*sin(6*x+5))-(sin(2*y+1)+2*sin(3*y+2)+3*sin(4*y+3)+4*sin(5*y+4)+5*sin(6*y+5)); 
-10<=x,y<=10;

for i=1:m

 

B(i+1)=sin(i*X)*Y’; A(i+1)=cos(i*X)*Y’;

    -sum(1,5,i*sin((i+1)*x+i))-sum(1,5,i*sin((i+1)*y+i));
-10<=x,y<=10;

end

 

  A=2*A/n; B=2*B/n;
A(1)=A(1)/2;Y1=A(1);

 

for k=1:m

#7. Easom函数

Y1=Y1+A(k+1)*cos(k*X1)+ B(k+1)*sin(k*X1);

#   min f(x1,x2) = -cos(x1)*cos(x2)*exp(-((x1-pi)^2)-(x2-pi)^2);

Tm=A(1)+A(k+1).*cos(k*X)+ B(k+1).*sin(k*X); k=k+1;

#   -10<x1,x2<10 ;  

end

#   在(x一,x二)=(pi, pi)处有大局最小值-一。

Y;Tm; Rm=(sum(Y-Tm).^2)/n;

#

例7.7.1  依赖上的个等距横坐标点 和函数.

    -cos(x1)*cos(x2)*exp(-((x1-pi)^2)-(x2-pi)^2);  -10<x1,x2<10
;

(1)求的陆阶三角多项式逼近,总计均方误差;

 

(2)将那多个三角多项式分别与的傅里叶级数

    -cos(x1)*cos(x2)*exp(-((x1-pi)^2)-(x2-pi)^2); 
-100<=x1,x2<=100;

的前陆项举办相比较;

   

(三)利用三角多项式分别总括Xi= -2, 2.5的值;

    -cos(x1)*cos(x2)*exp(-pow((x1-pi),2)-pow((x2-pi),2)); 
-500<=x1,x2<=500;

(4)在同等坐标系中,画出函数,的三角形多项式和数总局的图形.

 

解 (1)输入程序

 

>>X1=-pi:2*pi/13:pi;Y1=2*sin(X1/3);X1i=[-2,2.5];

#7-1  min f(x,y) = sin(x)*sin(y);   -pi<=x,y<=pi;

[A1,B1,Y11,Rm1]=sanjiao(X1,Y1,X1i,6),

#     有2个全局最小值:

 X2=-pi:2*pi/60:pi;Y2=2*sin(X2/3);

#       1.  f( 1.57080, -1.57080 ) = -1.000000000

[A2,B2,Y12,Rm2]=sanjiao(X2,Y2,X1i,6)

#       2.  f( -1.57080, 1.57080 ) = -1.000000000

X3=-pi:2*pi/350:pi;Y3=2*sin(X3/3);

#     来源:1种基于多群众体育找出的实数遗传算法  程之刚等  国中国科学技术大学。

[A3,B3,Y13,Rm3]=sanjiao(X3,Y3,X1i,6)

#

X1i=[-2,2.5];Y1=2*sin(X1i/3)

      sin(x)*sin(y);   -pi<=x,y<=pi;

for n=1:6

 

bi=(-1)^(n+1)*18*sqrt(3)*n/(pi*(9*n^2-1))

 

end

#8. Branin 讴歌ZDXCOS函数  在多少个分歧点:

(贰)画图,输入程序

#   (x[1],x[2])=(-pi,12.275) 、(pi, 2.2750)和(9.42478, 2.4750)

>>X1=-pi:2*pi/13:pi;Y1=2*sin(X1/3);

#   处有全局最小值 0.397887

Xi=-pi:0.001:pi; f=2*sin(Xi/3);

#   xu注:当有一个以上的变量定义域表明式时,表明式之间得用’&&’分隔。

[A1,B1,Y1i,R1m]=sanjiao(X1,Y1,Xi,6);X2=-pi:2*pi/60:pi;

#         如下式有  0<=x[2]<=15  &&  -5<=x[1]<=10; 

Y2=2*sin(X2/3);X3=-pi:2*pi/350:pi;Y3=2*sin(X3/3);

#

[A2,B2,Y2i,R2m]=sanjiao(X2,Y2,Xi,6);

   
(x[2]-(5.1/(4*3.14159265359^2))*x[1]^2+(5/3.14159265359)*x[1]-6)*(x[2]-(5.1/(4*3.14159265359^2))*x[1]^2+(5/3.14159265359)*x[1]-6)+10*(1-1/(8*3.14159265359))*cos(x[1])+10; 
0<=x[2]<=15  &&  -5<=x[1]<=10;

[A3,B3,Y3i,R3m]=sanjiao(X3,Y3,Xi,6);

 

plot(X1,Y1,’r*’, Xi, Y1i,’b-‘,Xi,Y2i,’g–‘, Xi, Y3i, ‘m:’, Xi, f,
‘k-.’)

   
(x[2]-(5.1/(4*3.14159265359^2))*x[1]^2+(5/3.14159265359)*x[1]-6)*(x[2]-(5.1/(4*3.14159265359^2))*x[1]^2+(5/3.14159265359)*x[1]-6)+10*(1-1/(8*3.14159265359))*cos(x[1])+10; 
-5<=x[1]<=10  &&  0<=x[2]<=15;

xlabel(‘x’),ylabel(‘y’)

  

legend(‘数总局(xi,yi)’,’n=1三的三角形多项式’,’n=60的三角多项式’,’n=350的三角形多项式’,’函数f(x)’)

   
(x[2]-(5.1/(4*pi*pi))*x[1]*x[1]+(5/pi)*x[1]-6)*(x[2]-(5.1/(4*pi*pi))*x[1]*x[1]+(5/pi)*x[1]-6)+10*(1-1/(8*pi))*cos(x[1])+10; 
-5<=x[1]<=10 && 0<=x[2]<=15;

title(‘例7.七.1的数总部(xi,yi)、n=一三,60,350的三角形多项式T三和函数f(x)的图形’)

 

运营后图形(略).

 

 

#9. Six-hump Camel Back Function    六峰驼再次回到函数

柒.八  随机数根据地上的二元拟合及其MATLAB程序

#   该函数共有八个部分一点都不大点,当中

 

#   f(-0.089842,0.71266)=f(0.089842,-0.71265)=-1.031628489

例7.8.1
设节点(X,Y,Z)中的XY独家是在区间和上的四伍个随机数,Z是函数Z=7-3x3e在(X,Y)的值,拟合点(XI,YI)中的XI=-3:0.2:3,
YI=-二.五:0.二:三.5.各自用贰元拟合方法中近期邻内插法、三角基线性内插法、三角基二遍内插法和MATLAB四网格化坐标方法总计在(XI,YI)处的值,作出它们的图样,并与被拟和曲面实行相比较.

#   为贰个全局最小点。

解  (一)近期邻内插法.输入程序

#   来源: MICHALEWICZ Z.

>> x=rand(50,1);

#    Genetic Algorithms + Data Structures = Evolution Programs [M] .

y=rand(50,1); %生成四20个一元均匀布满随机数x和y, x,y .

#    Beijing :Science Press ,2000 :1 – 128.

 X=-3+(3-(-3))*x;%行使x生成的放肆变量.

#   xu注:当有一个以上的变量定义域表明式时,表明式之间得用’&&’分隔。

 Y=-2.5+(3.5-(-2.5))*y; %选取y生成的即兴变量.

#         如0<=x[2]<=15  &&  -5<=x[1]<=10; 

Z=7-3* X.^3 .* exp(-X.^二 – Y.^贰); %在种种随机点(X,Y)处总计Z的值.

#

X1=-3:0.2:3;

   
(4.0-2.1*x[1]^2+(1/3.0)*x[1]^4)*x[1]^2+x[1]*x[2]+(-4.0+4.0*x[2]^2)*x[2]^2; 
-3<=x[1]<=3 && -2<=x[2]<=2;

Y1=-2.5:0.2:3.5;

   

[XI,YI] = meshgrid(X1,Y1);    %将坐标(XI,YI)网格化.

   
(4.0-2.1*pow(x1,2)+(1/3.0)*pow(x1,4))*pow(x1,2)+x1*x2+(-4.0+4.0*pow(x2,2))*pow(x2,2); 
-3<=x1<=3 && -2<=x2<=2;

ZI=griddata(X,Y,Z,XI,YI, ‘nearest’)
%乘除在各类插值点(XI,YI)处的插值ZI.

 

mesh(XI,YI, ZI)             %作贰元拟合图形.

 

xlabel(‘x’), ylabel(‘y’), zlabel(‘z’),

#拾. 在定义域内有200个巨大和不大值

title(‘用近期邻内插法拟合函数z =7-叁 x^叁 exp(-x^二 – y^二)
的曲面和节点的图形’)

#

%legend(‘拟合曲面’,’节点(xi,yi,zi)’)

    fabs((1-x)*x^2*sin(200*pi*x)); 0<x<1;

hold on                     %在此时此刻图形上增加新图形.

 

plot三(X,Y,Z, ‘bo’)            %用兰色小圆圈画出各类节点(X,Y,Z).

 

hold of                     %告终在此时此刻图形上增多新图形.

#11 * Rosenbrock’s函数:

运营后显示器显示用方今邻内插法拟合函数Z=7-3x3e在两组区别节点处的曲面及其插值ZI(略).

#   sum(1, D-1, 100*(x[i]^2-x[i+1])^2+(1-x[i])^2)

(二)三角基线性内插法.

#     -5.12<=x[i]<=5.12   i=1:D

输入程序

#   De jong 函数F贰 的高维函数。

>> x=rand(50,1);

#   最优解  min f(1,1,1, …, 1,1)=0.0;

y=rand(50,一); %转移4十四个一元均匀布满随机数x和y, x,y .

#   文献[十]中使用古板GA求解了n=二时的难点.在罗丝nbrock函数曲面山谷

 X=-3+(3-(-3))*x;%应用x生成上的自由变量.

#   中的点的最速下跌趋势差不多与到函数最小值的最佳势头垂直,因此守旧一核算

 Y=-2.5+(3.5-(-2.5))*y; %用到y生成上的任性变量.

#   法(如最速下跌法)较难求解此难点.在高维景观下思想意识GA难以快捷地求

Z=7-3* X.^3 .* exp(-X.^2 – Y.^2); %在每一种随机点(X,Y)处总计Z的值.

#   解该难题.

X1=-3:0.2:3;

#  

Y1=-2.5:0.2:3.5;

#   xu注:D=30, 小生境初距=0.三  终止代数=一千,其他参数取暗中认可值;

[XI,YI] = meshgrid(X1,Y1);    %将坐标(XI,YI)网格化.

#        (090408)

ZI=griddata(X,Y,Z,XI,YI, ‘linear’) %计算在各样插值点(XI,YI)处的插值ZI.

#

mesh(XI,YI, ZI)             %作2元拟合图形.

      sum(1,3,100*(x[i]^2-x[i+1])^2+(1-x[i])^2);
-5.12<=x[i],x[i+1]<=5.12;

xlabel(‘x’), ylabel(‘y’), zlabel(‘z’),

 

title(‘用三角基线性内插法拟合函数z =7-三 x^3 exp(-x^二 – y^二)
的曲面和节点的图形’)

      sum(1,5,100*(x[i]^2-x[i+1])^2+(1-x[i])^2);
-5.12<=x[i],x[i+1]<=5.12;

%legend(‘拟合曲面’,’节点(xi,yi,zi)’)

 

hold on                     %在近日图形上增加新图形.

      sum(1,10,100*(x[i]^2-x[i+1])^2+(1-x[i])^2);
-5.12<=x[i],x[i+1]<=5.12;

plot三(X,Y,Z, ‘bo’)            %用兰色小圆圈画出各样节点(X,Y,Z).

 

hold of                     %实今后目前图形上加多新图形.

      sum(1,30,100*(x[i]^2-x[i+1])^2+(1-x[i])^2);
-5.12<=x[i],x[i+1]<=5.12;

运行后显示屏呈现用三角基线性内插法拟合函数Z=7-3x3e在两组差别节点处的曲面和节点的图片及其插值ZI(略).

 

(三)三角基三遍内插法.

      sum(1,30,100*(x[i+1]-x[i]^2)^2+(x[i]-1)^2);
-30<=x[i],x[i+1]<=30;

输入程序

 

>> x=rand(50,1);

 

y=rand(50,一); %变迁4拾7个一元均匀布满随机数x和y, x,y .

#11-1.Rosenbrock’s 函数   A widely used multimodal test function

 X=-3+(3-(-3))*x;%用到x生成上的随机变量.

#   sum(1, D-1, 100*(x[i+1]-xi^2)^2+(1-xi)^2);

 Y=-2.5+(3.5-(-2.5))*y; %应用y生成上的任意变量.

#     =sum(1, D-1, 100*(x[i]-x[i-1]^2)^2+(1-x[i-1])^2;

Z=7-3* X.^3 .* exp(-X.^二 – Y.^二); %在每一种随机点(X,Y)处计算Z的值.

#   global minimum  f(x) = 0  x(i) = 1.0, i=1:D

X1=-3:0.2:3;

#   罗丝nbrock 函数是1个经文复杂交优质品种化难点,可被当成多模优化函数,

Y1=-2.5:0.2:3.5;

#   它的大局最可取位于1个坦荡、狭长的抛物线形山谷内.由于函数仅

[XI,YI] = meshgrid(X1,Y1);    %将坐标(XI,YI)网格化.

#   为优化算法提供了少些音信,使算法很难分辨寻找方向,找到全局最小

ZI=griddata(X,Y,Z,XI,YI, ‘cubic’) %乘除在每一种插值点(XI,YI)处的插值ZI.

#   点的机遇微乎其微,该函数平时用于争论优化算法的试行效用.

mesh(XI,YI, ZI)             %作贰元拟合图形.

#   在下1节的实践测试进程中,大家也发觉优化算法一般只好猎取该函

xlabel(‘x’), ylabel(‘y’), zlabel(‘z’),

#   数的局地极值.其全局最优解:f(1,1,壹,…,1)=0. 

title(‘用三角基二遍内插法拟合函数z =7-叁 x^三 exp(-x^2 – y^二)
的曲面和节点的图形’)

#   摘自:《多点陆续学习协会进步算法》 吕艳萍一,二, 李恒滋一+, 周昌乐1

%legend(‘拟合曲面’,’节点(xi,yi,zi)’)

#   Journal of Software 软件学报 Vol.1八, Supplement, December 200七

hold on                     %在此时此刻图形上加多新图形.

#

plot3(X,Y,Z, ‘bo’)            %用兰色小圆圈画出各样节点(X,Y,Z).

    sum(1, 30,
100*(x[i+1]-x[i]^2)^2+(1-x[i])^2);-2.048<=x[i],x[i+1]<=2.048; 

hold of                     %终了在此时此刻图形上增加新图形.

 

运营后显示器突显用三角基一次内插法拟合函数Z=7-3x3e在两组差别节点处的曲面和节点的图形及其插值ZI(略).

    sum(1, 50,
100*(x[i+1]-x[i]^2)^2+(1-x[i])^2);-2.048<=x[i],x[i+1]<=2.048;

(④)MATLAB肆网格化坐标方法.

   

输入程序

    sum(1, 100,
100*(x[i+1]-x[i]^2)^2+(x[i]-1)^2);-2.048<=x[i],x[i+1]<=2.048;

>> x=rand(50,1);

 

y=rand(50,一); %扭转肆十五个1元均匀布满随机数x和y, x,y .

 

 X=-3+(3-(-3))*x;%施用x生成上的大肆变量.

#11-2  Min f(x)=(sin(pi*y1))^2+sum(1, n-1, (y1-1)^2

Y=-2.5+(3.5-(-2.5))*y; %选用y生成上的随意变量.

#              *(1+10*(sin(pi*y[i+1]))^2))+(y[n]-1)^2

Z=7-3* X.^3 .* exp(-X.^2 – Y.^二); %在各个随机点(X,Y)处总括Z的值.

#     where yi=1+(xi-1)/4, (i = 1, . . . , n) and xi ∈ [-10, 10],

X1=-3:0.2:3; Y1=-2.5:0.2:3.5;

#     i = 1, 2, 3. There are about 125 local minima and one global

[XI,YI] = meshgrid(X1,Y1);    %将坐标(XI,YI)网格化.

#     minimum f* = 0  at x* = (1, 1, 1).  No. 5-2 is difficult

ZI=griddata(X,Y,Z,XI,YI, ‘v四’) %测算在每一种插值点(XI,YI)处的插值ZI.

#     due to the combinations of diffirent periods of the sine

mesh(XI,YI, ZI)             %作2元拟合图形.

#     function.

xlabel(‘x’), ylabel(‘y’), zlabel(‘z’),

#     摘自:《An Evolutionary Algorithm for Minimizing Multimodal

title(‘用MATLAB 四网格化坐标方法拟合函数z =7-3x^三 exp(-x^二 –
y^二) 的曲面和节点的图形’)

#          Functions》D.G. Sotiropoulos, V.P. Plagianakos and M.N.

%legend(‘拟合曲面’,’节点(xi,yi,zi)’)

#          Vrahatis University of Patras, Department of Mathematics,

hold on                     %在时下图形上加多新图形.

#          Division of Computational Mathematics & Informatics,

plot三(X,Y,Z, ‘bo’)            %用兰色小圆圈画出每一个节点(X,Y,Z).

#    

hold of                     %终了在时下图形上加多新图形.

 

运维后显示器展现用MATLAB
四网格化坐标方法拟合函数Z=7-3x3e在两组分化节点处的曲面和节点的图形及其插值ZI(略).

   (sin(pi*(1+(x[1]-1)/4)))^2+sum(1, 2,
((1+(x[1]-1)/4)-1)^2*(1+10*(sin(pi*(1+(x[i+1]-1)/4)))^2))+((1+(x[3]-1)/4)-1)^2;
-10<=x[1],x[3],x[i+1]<=10;

(5)作被拟合曲面*Z=7-3x*3e和节点的图形.

 

输入程序

   (sin(pi*(1+(x[1]-1)/4)))^2+sum(1, 9,
((1+(x[1]-1)/4)-1)^2*(1+10*(sin(pi*(1+(x[i+1]-1)/4)))^2))+((1+(x[10]-1)/4)-1)^2;
-10<=x[1], x[10],x[i+1]<=10;

>> x=rand(50,1);

 

y=rand(50,1); %转换肆18个1元均匀遍布随机数x和y, x,y .

   (sin(pi*(1+(x[1]-1)/4)))^2+sum(1, 29,
((1+(x[1]-1)/4)-1)^2*(1+10*(sin(pi*(1+(x[i+1]-1)/4)))^2))+((1+(x[30]-1)/4)-1)^2;
-10<=x[1],x[30],x[i+1]<=10;

 X=-3+(3-(-3))*x;%用到x生成随机变量.

 

Y=-2.5+(3.5-(-2.5))*y;  %应用y生成自由变量.

   (sin(pi*(1+(x[1]-1)/4)))^2+sum(1, 99,
((1+(x[1]-1)/4)-1)^2*(1+10*(sin(pi*(1+(x[i+1]-1)/4)))^2))+((1+(x[100]-1)/4)-1)^2;
-10<=x[1],x[100],x[i+1]<=10;

Z=7-3* X.^3 .* exp(-X.^2 – Y.^②); %在每一个随机点(X,Y)处总计Z的值.

 

X1=-3.:0.1:3.;

 

Y1=-2.5:0.1:3.5;

 

[XI,YI] = meshgrid(X1,Y1);    %将坐标(XI,YI)网格化.

#12. * X.FenXiang函数   那是一个多峰函数,有多个全局最小点:

ZI=7-3* XI.^3 .* exp(-XI.^2 – YI.^2);

#    f(1,1)=0, f(-1,1)=0, f(1,-1)=0, f(-1,-1)=0

mesh(XI,YI, ZI)             %作2元拟合图形.

#    较难完全同时招来到全局不大化点,很有代表性。

xlabel(‘x’), ylabel(‘y’), zlabel(‘z’),

#

title(‘被拟合函数z =7-三 x^三 exp(-x^二 – y^二) 的曲面和节点的图形’)

     100*(x[1]^2-x[2]^2)^2+(1-x[1]^2)^2; 
-2.048<=x[1],x[2]<=2.048;

%legend(‘被拟合函数曲面’,’节点(xi,yi,zi)’)

 

hold on                     %在现阶段图形上增添新图形.

 

plot三(X,Y,Z, ‘bo’)            %用兰色小圆圈画出种种节点(X,Y,Z).

#一三. 高尔德stein and Price function (GP)   该函数在其定义域内

hold of                     %收尾在当前图形上增加新图形.

#    唯有2个大局十分小值 f(0,-壹)=三.0 。

运作后显示屏展现被拟合函数Z=7-3x3e的曲面和节点的图片及其函数值ZI(略).

#

 

    
(1+(x1+x2+1)^2*(19-14*x1+3*x1^2-14*x2+6*x1*x2+3*x2^2))*(30+(2*x1-3*x2)^2*(18-32*x1+12*x1^2+48*x2-36*x1*x2+27*x2^2));
-2<=x1,x2<=2;

7.九   随机数总部上的元拟合及其MATLAB程序

 

 

 

 

#1肆. Hump function(HM)   该函数有一个全局最小值:

例7.9.1
首先利用MATLAB函数rand产生随机数据X1,Y1,Z1,然后用线性别变化换 (其中)将随便数据X1,Y1
,Z1 调换为节点坐标(X,Y,Z),再用函数e生成数据W,
用长富近年来邻内插法方法总结函数在插值点xi yizi=yi处拟合数据的值,并作其图形.

#    f(0.0898,-0.7126)=f(-0.0898,0.7126) = 0.0

 输入程序   

#

>>  X1=-5+5*rand(10,1);

    
1.0316285+4*x1^2-2.1*pow(x1,4)+1/3*pow(x1,6)+x1*x2-4*x2^2+4*pow(x2,4);
-5<x1,x2<5;

Y1=-5+5*rand(10,1);

 

Z1=Y1;

 

[X,Y,Z] = meshgrid(X1,Y1,Z1);

#15  * Rastrigin’s Function    

W=7-3* X.^3 .* Y.*(Z+1).* exp(-X.^2 – Y.^2- Z.^2);

#    A widely used multimodal test function Minimize:

xi=-3:0.5:10;

#    min f(x)=10.0*n+sum(x[i]^2 – 10.0*cos(2*Pi*x[i]))  

yi=-2:0.5:13;

#    -5.12<= x[i]<=5.12

zi=yi;

#    global minimum f(x)=0   x[i]=0,  i=1:n

[XI,YI,ZI] = meshgrid(xi,yi,zi);

#    Rastrigin’s 函数是一个长短不一的多模难题, 具备大批量的

W1=griddata3(X, Y, Z, W, XI, YI, ZI, ‘nearest’);

#    局地极值点, 首要用以核实算法的群众体育多种性.

slice(XI,YI,ZI,W1,[-2 4 9.5],9,[-2 2 9]),

#

%shading flat

    
10.0*2+x1^2+x2^2-10*(cos(2*pi*x1)+cos(2*pi*x2));-5.12<=x1,x2<=5.12;

%lighting flat

 

xlabel(‘x’), ylabel(‘y’), zlabel(‘z’),

     10.0*10+sum(1,10,x[i]^2-10.0*cos(2*pi*x[i]));
-5.12<=x[i]<=5.12;

title(‘被拟合函数W=7-叁X^三Y(Z+一)exp(-X^二 – Y^2- Z^二) ‘);

 

hold on

 

colorbar(‘horiz’)

#15-1.* Rastrigin’s函数

view([-30  45])

#   min f5=sum(1, D, xi^2-10*cos(2*pi*xi)+10);

运作后显示器呈现雅士利线性拟合值及其图形(略).

#   -5.12<=xi<=5.12; min f5(0, 0, … , 0)=0;

 

#   函数是二个纵横交错的多模难点, 在xi=0(i=一,二,…,n)时达成全局相当的小点,

例7.9.2
 
设节点(X,Y,Z,W)中的X,YZ分别是在间隔和,Y=Z上的1多少个随机数,W是函数e在(X,Y,Z)的值,拟合点(xi,yi,zi)中的xi=-3:0.2:3,
yi=-2.5:0.2:3.5,zi=yi
用’linear’方法总计拟合数据的值,并作其图形.

#   存在十D个的局地极值点(0.9玖5,一.990,二.985,三.980,四.玖八5 等).

 输入程序

#   重要用来核查算法的部落三种性.

>>x=rand(15,1); y=rand(15,1);

#

X1=-3+(3-(-3))*x;

 

Y1=-2.5+(3.5-(-2.5))*y;Z1=Y1;

    sum(1, 30, xi^2-10*cos(2*pi*xi)+10);  -5.12<=xi<=5.12;

[X,Y,Z] = meshgrid(X1,Y1,Z1);

 

W=2+X.* exp(-X.^2 – Y.^2- Z.^2);

    sum(1, 50, xi^2-10*cos(2*pi*xi)+10);  -5.12<=xi<=5.12;

xi=-3:0.2:3; yi=-2.5:0.2:3.5; zi=yi;

 

[X2,Y2,Z2]=meshgrid(xi,yi,zi);

    sum(1, 80, xi^2-10*cos(2*pi*xi)+10);  -5.12<=xi<=5.12;

W1=griddata3(X, Y, Z, W, X2,Y2,Z2,’linear’);

 

slice(X2,Y2,Z2,W1,[-1 0 1.5],2,[-2 3]),

    sum(1, 100, xi^2-10*cos(2*pi*xi)+10);  -5.12<=xi<=5.12;

shading flat,lighting flat,

 

xlabel(‘x’), ylabel(‘y’), zlabel(‘z’),

 

title(‘被拟合函数W=二+X exp(-X^2 – Y^二- Z^2)’);

#16. Bohachevsky函数#1   有贰个f(0,0)=0.0 全局最小值。

hold on,colorbar(‘horiz’),view([-3  5])

#

运营后荧屏呈现安慕希线性拟合值及其图形(略).

     x1^2+2*x2^2-0.3*cos(3*pi*x1)-0.4*cos(4*pi*x2)+0.7;
-50<=x1,x2<=50;

 

 

 

#17. Bohachevsky 函数 #贰  有f(0,0)=0 全局最小值。

#

     x1^2+2*x2^2-0.3*cos(3*pi*x1)*cos(4*pi*x2)+0.3;
-50<=x1,x2<=50;

 

 

#18. Bohachevsky 函数 #三  有f(0,0)=0 全局最小值。

#

     x1^2+2*x2^2-0.3*cos(3*pi*x1+4*pi*x2)+0.3;
-50<=x1,x2<=50;

 

 

#1九. Bohachevsky测试函数 三,最优解为-0.2四,布满在[0,-0.24]

#    和[0,0.24]。

#    xu注:取小生境距=0.2(取小于两峰值间距,变量定义域也异常的小),

#          别的私下认可值;

#

     x^2+y^2-0.3*cos(3*pi*x)+0.3*cos(4*pi*y)+0.3; 
-1.0<=x,y<=1.0;

 

 

#20. 多峰函数,有三个全局最大值二.11捌,对称分布于

#    (+0.64,+0.64),(-0.64,-0.64),(+0.64,-0.64),

#    (-0.6四,+0.6四),存在多量局地一点都不小值,

#    尤其是在中游区域有1取值与大局最大值很类似的有的相当大值

#    2.077)凸台。

#    xu注:

#    最小值:

#     f( -0.64097, -0.64097 ) = -2.118763447

#     f( -0.64097, 0.64097 ) = -2.118763447

#     f( 0.64097, -0.64097 ) = -2.118763447

#     f( 0.64097, 0.64097 ) = -2.118763447

#    最大值:

#     f( -0.88118, -0.88118 ) = 0.632694185

#     f( -0.88118, 0.88118 ) = 0.632694185

#     f( 0.88118, -0.88118 ) = 0.632694185

#     f( 0.88118, 0.88118 ) = 0.632694185

#   

    
-(1+x*sin(4*pi*x)-y*sin(4*pi*y+pi)+sin(6*sqrt(x^2+y^2))/(6*sqrt(x^2+y^2+10^(-15)))); 
-1<=x,y<=1;

 

 

#2一. 函数六,有五个全局最小值-贰.260,遍及在:

#    (0.63492,0.63492),(-0.63492,0.63492),

#    (0.63492,-0.63492),(-0.63492,-0.63492)

#    xu注:

#     f( 0.63492, 0.63492 ) = -2.259986401

#     f( -0.63492, 0.63492 ) = -2.259986401

#     f( -0.63492, -0.63492 ) = -2.259986401

#     f( 0.63492, -0.63492 ) = -2.259986401

#

     -(1+x*sin(4*pi*x)-y*sin(4*pi*y+pi)); -1<=x,y<=1;

 

#22. Needle-in-a-haystack难点,当a=0.05;b=三,其最优解近似

#    为-3600,分布在(0,0)。

#    伍个部分极值点为(+五.1二,+5.12),(-五.1二,-伍.12),

#    (+5.12,-5.12),(-5.12,+5.12)。

#    xu注:

#     1. f( 0.00000, 0.00000 ) = -3600.000000000

#     2. f( -5.12000, -5.12000 ) = -2748.782226563

#     3. f( -5.12000, 5.12000 ) = -2748.782226563

#     4. f( 5.12000, -5.12000 ) = -2748.782226563

#     5. f( 5.12000, 5.12000 ) = -2748.782226563

#

     -((3/(0.05+(x^2+y^2)))^2+(x^2+y^2)^2);  -5.12<=x,y<=5.12;

 

 

#2三. Camel函数,有五个部分比十分小点:

#    (1.607105, 0.568651),(-1.607105, -0.568651)、

#    (1.703607, -0.796084),(-1.703607, 0.796084)、

#    (-0.0898,0.7126), (0.0898,-0.7126),

#    其中(-0.0898,0.7126)和(0.0898,-0.7126)

#    为四个全局最小点,最小值为-1.03162八。

#    xu注:

#    1.  f( -0.08984, 0.71266 ) = -1.031628489

#    2.  f( 0.08984, -0.71266 ) = -1.031628489

#

     (4-2.1*(x^2)+x^4/3)*x^2+x*y+(-4+4*y^2)*y^2; 
-5.12<=x,y<=5.12;

 

 

#二4. Rastrigrin 函数,全局最小值为0,布满在(0,0)处。

#

     20+x^2-10*cos(2*pi*x)+y^2-10*cos(2*pi*y); 
-5.12<=x,y<=5.12;

 

 

#25. Sphere Model函数,全局最小值为0,布满在(0,0)。

#

     x^2+y^2;  -5.12<=x,y<=5.12;

 

 

#26. * Rana函数:

#    min f = x*sin(sqrt(fabs(y+1-x)))*cos(sqrt(fabs(y+1+x)))

#            +(y+1)*cos(sqrt(fabs(y+1-x)))*sin(sqrt(fabs(y+1+x))); 

#    -51二<=x,y<=51贰; 
全局最优解约为-511.70八,布满在(-512,-51二)。

#      The Rana function is a non-separable, highly multimodal

#    function.The left figure shows the two dimensional landscape of

#    the non-rotated version. The best solutions are at the corners.

#    Applying a simple parameter shift makes this function

#    non-symmetric.

#    来源:Genitor Colorado State University.

#    xu注:较难找到最优解,其实最优解还不是-51一.708892822,但常常找到

#          的是它。

#          f( -51二.00000, -51一.99540 ) = -51一.70889282二  繁多状态

#          f( -512.00000, -511.99560 ) = -511.708892822

#          f( -488.63258, 512.00000 ) = -511.732879639

#              小生境初距=500~一千,其他暗许值

#          f( 487.50042, 504.22052 ) = -552.609375000

#          f( 505.20298, 486.14774 ) = -564.045166016

#         采取多峰值函数寻优形式,同时获得:

#         1.  f( -488.63258, 512.00000 ) = -511.732879639

#         2.  f( -512.00000, -511.99560 ) = -511.708892822

#

    
x*sin(sqrt(fabs(y+1-x)))*cos(sqrt(fabs(y+1+x)))+(y+1)*cos(sqrt(fabs(y+1-x)))*sin(sqrt(fabs(y+1+x))); 
-512<=x,y<=512;

 

    
x*sin(sqrt(fabs(y+1-x)))*cos(sqrt(fabs(y+1+x)))+(y+1)*cos(sqrt(fabs(y+1-x)))*sin(sqrt(fabs(y+1+x))); 
-512<=x,y<=512;

 

 

 

#二7. 函数1陆,全局最小值f(0,0)=0

#

     fabs(x)+fabs(y)+fabs(x)*fabs(y);   -10<=x,y<=10;

 

 

#28. Michalewicz’s 函数,函数有3个全局相当小值点取值近似为

#    -1.8013,在(2.0230,2.0230)处。

#    xu注:f( 2.20291, 1.57080 ) = -1.801303387

#

     -sin(x)*(sin(x^2/pi))^20-sin(y)*(sin(2*y^2/pi))^20;
0<=x,y<=pi;

 

     -sin(x)*pow((sin(x^2/pi)),20)-sin(y)*pow((sin(2*y^2/pi)),20);
0<=x,y<=pi;

 

 

#28-1 Michalewicz’s function

#   min f(…)=-sum(1, N, sin(xi)*pow(sin(i*xi^2/pi),20));

#   0<=xi<=pi; 最小值:-99.2784。

#   摘自:《用于函数优化的正交Multi-Agent遗传算法》,薛明志等,

#         系统工程与电子技巧,第3陆卷第捌期,200四年十一月。

#

#     The Michalewicz function is a multimodal test function

#   (owns n! local optima).The parameter m defines the “steepness”

#   of the valleys or edges.Larger m leads to more difficult search.

#   For very large m the function behaves like a needle in the

#   haystack(the function values for points in the space outside the

#   narrow peaks give very little information on the location of the

#   global optimum). Function has the following definition

#   f(x) = -sum( sin(x(i)) * (sin(i*x(i)^2/pi))^(2*m) ),

#   i=1:n, m=10   0<=x(i)<=pi.  global minimum:

#   f(x)=-4.687 (n=5); x(i)=???, i=1:n.

#   f(x)=-9.66 (n=10); x(i)=???, i=1:n.

#   摘自:GEATbx: Example Functions (single and multi-objective

#         functions) 2 Parametric Optimization

#   xu注:从该函数3D图可知,随维数扩张,该函数出现’平台’和狭长的’山谷’,

#         ‘平台’的产出不便宜靠目的函数值(适应度)的浮动举办的寻优,

#        
‘平台’上的搜索点很难起导向性的查找,而是表现盲目性随机的查找。

#         只有搜索点随机地落入’山谷’,才有希望朝最优解方向搜索。那是引致

#        
高维的该函数寻优的难度,使其寻优偶然性非常的大,取得最优解成功率不高。

#         n<=10很轻便获取最优解,再高后难度扩大。

#    n=5,  群众体育个体数=30,最优保存数=拾,其余取暗许值。

#          f( 2.20291, 1.57080, 1.28499, 1.92306, 1.72047 )

#          = -4.687658310

#    n=10, 群众体育个体数=30,最优保存数=10,其余取暗中认可值。

#          f( 2.20291, 1.57080, 1.28499, 1.92306, 1.72047,

#             1.57080, 1.45441, 1.75609, 1.65572, 1.57080 )

#          = -9.660151482

#    n=30, 群众体育个体数=1伍   最优保存数=一5  其他取私下认可值。

#          当迭代数到10左右,解要抵达2七~2捌时,才有期望达到最优解!

#          获得最优解的成功率不及n<=十.

#          f( 2.20291, 1.57080, 1.28499, 1.92306, 1.72047, 1.57080,

#             1.45441, 1.75609, 1.65572, 1.57080, 1.49773, 1.69662,

#             1.63008, 1.57080, 1.51755, 1.66606, 1.61633, 1.57080,

#             1.52891, 1.64746, 1.60776, 1.57080, 1.53627, 1.63493,

#             1.60190, 1.57080, 1.54144, 1.62593, 1.59765, 1.57080 )

#          = -29.630884171

#   

#    n=50  终止代数=一千,别的取私下认可值。

#          f( 2.20291, 1.57080, 1.28499, 1.92306, 1.72047, 1.57080,

#             1.45441, 1.75609, 1.65572, 1.57080, 1.49773, 1.69662,

#             1.63008, 1.57080, 1.51755, 1.66606, 1.61633, 1.57080,

#             1.52891, 1.64746, 1.60776, 1.57080, 1.53627, 1.63493,

#             1.60190, 1.57080, 1.54144, 1.62593, 1.59765, 1.57080,

#             1.54525, 1.61914, 1.59442, 1.57080, 1.54819, 1.61384,

#             1.59188, 1.57080, 1.55053, 1.60959, 1.58984, 1.57080,

#             1.55242, 1.60610, 1.58815, 1.57080, 1.55400, 1.60319,

#             1.58674, 1.57080 ) = -49.624832153

    -sum(1, 5, sin(xi)*pow(sin(i*xi^2/pi),20)); 0<=xi<=pi;

 

    -sum(1, 10, sin(xi)*pow(sin(i*xi^2/pi),20)); 0<=xi<=pi;

 

    -sum(1, 30, sin(xi)*pow(sin(i*xi^2/pi),20)); 0<=xi<=pi; 

 

    -sum(1, 50, sin(xi)*pow(sin(i*xi^2/pi),20)); 0<=xi<=pi; 

 

    -sum(1, 100, sin(xi)*pow(sin(i*xi^2/pi),20)); 0<=xi<=pi;  

 

 

#28-2 Michalewicz’s function

#   max f(…) = sum(1, N, sin(xi)*(sin(i*xi^2/pi))^20)

#   0.0<=xi<=3.14;

#   当N=100时,据介绍,最大值为9九.27八肆,

#   来源小编的测算结果为9玖.61630365;

#   摘自:《适用于高维优化难题的精耕细作提升计谋》王湘中,喻寿益

#

#

    sum(1, 10, sin(xi)*pow(sin(i*xi^2/pi),20)); 0<=xi<=pi;

   

    sum(1, 10, sin(xi)*(sin(i*xi^2/pi))^20); 0.0<=xi<=pi;

   

    sum(1, 30, sin(xi)*(sin(i*xi^2/pi))^20); 0.0<=xi<=pi;    

 

    sum(1, 100, sin(xi)*(sin(i*xi^2/pi))^20); 0.0<=xi<=pi;

 

 

#2九. Schwefel’s函数,是一个压倒元白的尔虞作者诈难题,有一个全局非常的小值点

#    取值近似为-八3柒.965八,在(420.96875,420.96875)处,距离另

#    二个有的最可取很远,由此只要陷入局地最优就很难跳出。

#    xu注:f( 420.96875, 420.96875 ) = -837.965759277

#

     -x*sin(sqrt(fabs(x)))-y*sin(sqrt(fabs(y))); -500<=x,y<=500;

 

 

#30. Schwefel’s function

#    sum(1, D, -x(i)·sin(sqrt(abs(x(i)))));

#    i=1:D;  -500<=x(i)<=500;

#    global minimum: f(x) = -D·418.9829;  

#    x(i)=420.9687, i=1:D.

#    xu注: 基本同#31

#     D=2, f( 420.96875, 420.96875 ) = -837.965759277

#     D=3, f( 420.96875, …, 420.96875)=-1256.948608398;

#     D=10, f( 420.96875, …, 420.96875)=-4189.829101563;

#     D=30,f( 420.96875, …, 420.96875)=-12569.486328125

#

    
-x1*sin(sqrt(fabs(x1)))-x2*sin(sqrt(fabs(x2)));-500<=x1,x2<=500;

 

     sum(1,2,-xi*sin(sqrt(fabs(xi))));-500<=xi<=500;

 

     sum(1,2,-x[i]*sin(sqrt(fabs(x[i]))));-500<=x[i]<=500;

 

     sum(1,3,-x[i]*sin(sqrt(fabs(x[i]))));-500<=x[i]<=500;

 

     sum(1,10,-x[i]*sin(sqrt(fabs(x[i]))));-500<=x[i]<=500;

 

     sum(1,30,-x[i]*sin(sqrt(fabs(x[i]))));-500<=x[i]<=500;

 

     -sum(1,30,xi*sin(fabs(xi)^(1/2)));-500<=xi<=500;

 

 

# *31. Schwefel’s 函数   (Sine Root)function,

#   A widely used multimodal test function:

#   f(x) = 418.9829*n + sum(1, n, -x(i)*sin(sqrt(abs(x(i))));

#   -500 <= x(i) <= 500;

#   global minimum f(x) = 0, x(i)=420.9687, i=1:n

#   Schwefel’s function [7] is deceptive in that the global

#   minimum is geometrically distant from the next best local

#   minima.

#   由于其全局最优解点周边存在部分极值点,由此寻找难以达到全局

#   最优解点,主要用来核算算法的种群四种性.

#

#   http://www.aridolan.com/ga/gaa/Schwefel.html

#

#   xu注:常数41捌.9829精度可是,为41八.98288727243379玖才有足过精度,

#   即 418.982887272433799*D + sum(1,D, -x(i)*sin(sqrt(abs(x(i))));

#   才能global minimum f(x) = 0

#

#       118.43玖及228.7陆伍,23陆.877,47三.7五三 ,5玖2.1九贰等是其某些极值?

#   轻松停滞在那个点上.

#  

#

    418.9829*2+sum(1,2,-xi*sin(sqrt(fabs(xi))));  -500<=xi<=500;

 

   
418.982887272433*2-sum(1,2,xi*sin(fabs(xi)^(1/2)));-500<=xi<=500;

 

   
418.982887272433*2-sum(1,2,xi*sin(sqrt(fabs(xi))));-500<=xi<=500;

 

    418.982887272433*3-sum(1,3,
xi*sin(fabs(xi)^(1/2)));-500<=xi<=500;

 

    418.982887272433*3-sum(1,3,
xi*sin(sqrt(fabs(xi))));-500<=xi<=500;

 

   
418.982887272433*5-sum(1,5,xi*sin(fabs(xi)^(1/2)));-500<=xi<=500;

 

    418.982887272433*5-sum(1,5,
xi*sin(sqrt(fabs(xi))));-500<=xi<=500;

 

   
418.982887272433*10-sum(1,10,xi*sin(sqrt(fabs(xi))));-500<=xi<=500;

  

   
418.982887272433*30-sum(1,30,xi*sin(fabs(xi)^(1/2)));-500<=xi<=500;

 

   
418.982887272433*30-sum(1,30,xi*sin(fabs(xi)^(1/2)));-512<=xi<=512;

   

   
418.982887272433*30-sum(1,30,xi*sin(fabs(xi)^(1/2)));-520<=xi<=520;

 

   
418.982887272433*40-sum(1,40,xi*sin(fabs(xi)^(1/2)));-500<=xi<=500;

 

   
418.982887272433799*50-sum(1,50,xi*sin(fabs(xi)^(1/2)));-500<=xi<=500;

 

   
418.982887272433799*60-sum(1,60,xi*sin(fabs(xi)^(1/2)));-500<=xi<=500;

 

   
418.982887272433799*70-sum(1,70,xi*sin(fabs(xi)^(1/2)));-500<=xi<=500;

 

   
418.982887272433799*80-sum(1,80,xi*sin(fabs(xi)^(1/2)));-500<=xi<=500;

 

   
418.982887272433799*90-sum(1,90,xi*sin(fabs(xi)^(1/2)));-500<=xi<=500;

 

  
418.982887272433799*100-sum(1,100,xi*sin(fabs(xi)^(1/2)));-500<=xi<=500;

 

 

#3二. Ackley’s Path function ,函数有三个全局非常小值点取值为0,

#    在(0,0)处。Ackley’s 函数在狭长的全局极值点周边装有众多

#    的片段极值.首要用以测试算法的收敛率.

#

    
-20*exp(-0.2*sqrt(0.5*(x^2+y^2)))-exp(0.5*(cos(2*pi*x)+cos(2*pi*y)))+exp(1)+20; 
-30<=x,y<=30;

 

    
20+e-20*exp(-0.2*sqrt(1/30*sum(1,30,xi^2)))-exp(1/30*sum(1,30,cos(2*pi*xi)));
-32.768<=x,y<=32.768;

 

    
20+e-20*exp(-0.2*sqrt(1/100*sum(1,100,xi^2)))-exp(1/100*sum(1,100,cos(2*pi*xi)));
-32.768<=x,y<=32.768;

 

 

#3二-1  玄光男的遗传算法讲稿,有图. 有一最小值:

#    Optimal solution(x*,y*)=(0,0)  f(x*,y*)=0

#

    
-20*exp(-0.2*sqrt(0.5*(x^2+y^2)))-exp(0.5*(cos(2*pi*x)+cos(2*pi*y)))+exp(1)+20; 
-5<=x,y<=5;

 

 

#32-2. Ackley’s函数

#    f2=20+e-20*exp(-0.2*sqrt(1/D*sum(1,D,xi^2)))

#       -exp(1/D*sum(1,D,cos(2*pi*xi));-32.768<=xi<=32.768;

#    min f2(0,0,…,0) = 0;

#    Ackley’s 函数在狭长的全局极值点周边装有不少的局地极值,

#    它是多少个标准测试函数中最轻便获取最优解的,首要用于测试算法的

#    收敛率。

#    摘自:《多点陆续学习协会升高算法》 吕艳萍一,②, 光皇帝滋一+, 周昌乐一

#    Journal of Software 软件学报 Vol.1八, Supplement, December 200柒

#   

   
20+e-20*exp(-0.2*sqrt(1/30*sum(1,30,xi^2)))-exp(1/30*sum(1,30,cos(2*pi*xi)));
-32.768<=xi<=32.768;

 

   
20+e-20*exp(-0.2*sqrt(1/100*sum(1,100,xi^2)))-exp(1/100*sum(1,100,cos(2*pi*xi)));
-32.768<=xi<=32.768;

 

 

 

#3叁. 汉斯en函数,函数有3个大局最小值-17六.541793,在下边玖

#    个点处取值:

#    (-7.589893,-7.708314)、(-7.589893,-1.425128)、

#    (-7.589893,4.858057)、(-1.306708,-7.708314)、

#    (-1.306708,-1.425128)、(-1.306708,4.858057)、

#    (4.976478,-7.708314)、(4.976478,-7.708314)、

#    (4.97647八,四.8580伍七) 函数共有756个部分十分小值。

#

    
(cos(1)+2*cos(x+2)+3*cos(2*x+3)+4*cos(3*x+4)+5*cos(4*x+5))*(cos(2*y+1)+2*cos(3*y+2)+3*cos(4*y+3)+4*cos(5*y+4)+5*cos(6*y+5));
-10<=x,y<=10;

 

 

#34. Griewangk’s 函数(similar to Rastrigin’s function)函数

#    有一个全局相当小值点取值为0,在(0,0)处。

#

     (x^2+y^2)/4000-cos(x)*cos(y/sqrt(2))+1; -600<=x,y<=600;

    

     sum(1,2,xi^2)/4000-prod(1,2, cos(xi/sqrt(i)))+1;
-600<=xi<=600;

    

     sum(1,5,xi^2)/4000-prod(1,5, cos(xi/sqrt(i)))+1; -10<=xi<=10;

 

 

#35. Griewangk’s function is similar to Rastrigin’s

#    function. It has many widespread local minima.However,

#    the location of the minima are regularly distributed.

#    global minimum:

#    f(x)=0; x(i)=0, i=1:n.

#    f8(x)=sum(x(i)^2/4000)-prod(cos(x(i)/sqrt(i)))+1, i=1:n 

#    -600<=x(i)<=600.

#

      x1^2/4000+x2^2/4000-cos(x1/sqrt(1.0))*cos(x2/sqrt(2.0))+1; 
-600<=x1,x2<=600;

 

      x1^2/4000+x2^2/4000-cos(x1/sqrt(1.0))*cos(x2/sqrt(2.0))+1; 
-10<=x1,x2<=10;

 

 

#36.  min. F=(X[1]-1)*(X[1]-1)+(X[2]-1/2)*(X[2]-1/2)

#            +(X[3]-1/3)*(X[3]-1/3)+…+(X[100]-1/100)

#            *(X[100]-1/100)

#     s.t. -10<=X[I]<=10,I=1,2,…,100

#     全局最小值 0   

#     10维:f( 1.00000, 0.50000, 0.33333, 0.25000, 0.20000, 0.16667,

#            0.14286, 0.12500, 0.11111, 0.10000 ) = 0.000000000

#     20维:f( 1.00000, 0.50000, 0.33333, 0.25000, 0.20000, 0.16667,

#              0.14286, 0.12500, 0.11111, 0.10000, 0.09091, 0.08333,

#              0.07692, 0.07143, 0.06667, 0.06250, 0.05882, 0.05556,

#              0.05263, 0.05000 ) = 0.000000000 

#     100维:f( 1.00000, 0.50000, 0.33333, 0.25000, 0.20000,

#               0.16667, 0.14286, 0.12500, 0.11111, 0.10000, 0.09091,

#               0.08333, 0.07692, 0.07143, 0.06667, 0.06250, 0.05882,

#               0.05556, 0.05263, 0.05000, 0.04762, 0.04545, 0.04348,

#               0.04167, 0.04000, 0.03846, 0.03704, 0.03571, 0.03448,

#               0.03333, 0.03226, 0.03125, 0.03030, 0.02941, 0.02857,

#               0.02778, 0.02703, 0.02632, 0.02564, 0.02500, 0.02439,

#               0.02381, 0.02326, 0.02273, 0.02222, 0.02174, 0.02128,

#               0.02083, 0.02041, 0.02000, 0.01961, 0.01923, 0.01887,

#               0.01852, 0.01818, 0.01786, 0.01754, 0.01724, 0.01695,

#               0.01667, 0.01639, 0.01613, 0.01587, 0.01562, 0.01538,

#               0.01515, 0.01493, 0.01471, 0.01449, 0.01429, 0.01408,

#               0.01389, 0.01370, 0.01351, 0.01333, 0.01316, 0.01299,

#               0.01282, 0.01266, 0.01250, 0.01235, 0.01219, 0.01205,

#               0.01190, 0.01176, 0.01163, 0.01149, 0.01136, 0.01124,

#               0.01111, 0.01099, 0.01087, 0.01075, 0.01064, 0.01053,

#               0.01042, 0.01031, 0.01020, 0.01010, 0.01000 )

#          = 0.000000000

#         

      sum(1,10,(xi-1/i)^2);-10<=xi<=10;

     

      sum(1,20,(xi-1/i)^2);-10<=xi<=10;

     

      sum(1,100, (xi-1/i)^2);-10<=xi<=10;

 

 

#*37.  min.F=Abs(X[1]-1)+Abs(X[2]-2)+Abs(X[3]-3)+…

#           +Abs(X[100]-100)

#     s.t. -100<=X[I]<=100,I=1,2,…100

#     全局最小值 0。不易到达高精度的零值!

#    

      sum(1,100,fabs(xi-i));-100<=xi<=100;

 

 

#38. min.F=-(X[1]+X[2]+X[3]+…+X[100])

#    s.t. X[1]*X[1]+X[2]*X[2]+…+X[100]*X[100]<=100

#         0<=X[I]<=2, I=1,2,…,100

#    有不等式约束的函数优化!

#    全局最小值-拾0

#

     -sum(1,100,xi); 0<=xi<=2;

 

    

#39. min.F=Exp(-X[1])*Sin(X[1])+Exp(-X[2])*Sin(2*X[2])

#    +Exp(-X[3])*Sin(3*X[3])+…+Exp(-X[10])*Sin(10*X[10])

#    s.t. 0<=X[I]<=10,I=1,2,…,10

#    f( 3.92699, 2.12437, 1.46355, 1.11685, 0.90300, 0.75787,

#       0.65293, 0.57350, 0.51130, 0.46127 ) = -3.815545082

#    f( 3.92788, 2.12437, 1.46355, 1.11685, 0.90300, 0.75787,

#       0.65293, 0.57350, 0.51130, 0.46127 ) = -3.815545082

#    f( 3.92621, 2.12437, 1.46355, 1.11685, 0.90300, 0.75787,

#       0.65293, 0.57350, 0.51130, 0.46127 ) = -3.815545082

#

     sum(1,10, exp(-xi)*sin(i*xi)); 0<=xi<=10;

 

   

#40. min.F(x1,x2,…,x10) = Exp(-(X[1]+X[2]))*Sin(X[1]*X[2])

#                           +
Exp(-(X[2]+X[3]))*Sin(2*X[2]*X[3])

#                           +
Exp(-(X[3]+X[4]))*Sin(3*X[3]*X[4])

#                           + …

#                           +
Exp(-(X[10]+X[1]))*Sin(10*X[10]*X[1])

#    s.t. 0<=X[I]<=10,I=1,2,…,10

#    全局最小值:

#    f(0.66911, 4.37878, 1.28379, 1.14085, 0.98864, 0.90701,

#      0.83424,0.77432, 0.73665, 0.68502 ) = -1.430215716;

#    f(0.66065, 9.75233, 1.30341, 1.13164, 0.99241, 0.90636,

#      0.83268, 0.77762, 0.73170, 0.69156 ) = -1.430215716;

#

    
sum(1,9,exp(-(x[i]+x[i+1]))*sin(i*x[i]*x[i+1]))+exp(-(x[10]+x[1]))*sin(10*x[10]*x[1]);
0<=x[i],x[i+1],x[10]<=10;

 

 

#41. * min.F=sum(sin(x[i]*sin(i*x[11-i])))

#          -prod(cos(x[i]*cos(i*x[11-i])));

#    0<=xi<=10; i=1:n;

#    该函数的极值如麦田的麦芒同样密密麻麻,要找寻里面最矮的

#    1株其难度是由此可见的,基础遗传算法和某个革新遗传算法

#    都找出不到全局最小值。

#    二维:f( 5.68795, 8.44250 ) = -2.999561787

#    三个维度:f( 三.4403陆, 捌.4491六, 九.9014壹 ) = -三.9841065四一(可能率最高)

#          f( 3.44787, 8.44916, 9.88799 ) = -3.992382526 (090308)

#          f( 5.63505, 8.44916, 8.44181 ) = -3.998083591 (090308)

#      

#    xu注:以多峰值函数形式寻优,会收获更加好的功力。

#   

  

    
sum(1,2,sin(x[i]*sin(i*x[3-i])))-prod(1,2,cos(x[i]*cos(i*x[3-i])));0<=x[i],x[3-i]<=10;

 

    
sum(1,3,sin(x[i]*sin(i*x[4-i])))-prod(1,3,cos(x[i]*cos(i*x[4-i])));0<=x[i],x[4-i]<=10;

 

#42  Salomon’s function

#    min f(x)=- cos(2*pi*sqrt(sum(1,D,xi^2)))

#             + 0.1*sqrt(sum(1,D,xi^2))+1

#    min f(0,0,…,0)=0.0;

#    来源:http://www.it.lut.fi/ip/evo/functions/node12.html

 

     -cos(2*pi*sqrt(sum(1,10,xi^2))) + 0.1*sqrt(sum(1,10,xi^2))+1; 
-10<=xi<=10;

 

 

#43. min f(x1,x2)=exp(sin(50.x1))+sin(60*exp(x2))+sin(70*sin(x1))

#             +sin(sin(80*x2))-sin(10*(x1+x2))+(x1^2+x2^2)/4;

#    f(x1=-0.0244030794174338178, x2=0.210612427162285371)

#    = -3.30686864747523535

#    来源:《NONLINEAR OPTIMIZATION IN MODELING ENVIRONMENTS》

#    xu注:f( -0.02440, 0.21061 ) = -3.306868553

#

    
exp(sin(50*x1))+sin(60*exp(x2))+sin(70*sin(x1))+sin(sin(80*x2))-sin(10*(x1+x2))+(x1^2+x2^2)/4; 
-3<=x1,x2<=3;

 

    
exp(sin(50*x1))+sin(60*exp(x2))+sin(70*sin(x1))+sin(sin(80*x2))-sin(10*(x1+x2))+(x1^2+x2^2)/4;
-100<=x1,x2<=30;

 

 

#44. Shekel SQRN5

#    带有一维数组c[j]和2维数组a[i,j], 它们的二组数据放在地面

#    文件夹的#44 ConstTermsData.txt。

#    D=5,   Min f(x1,x2,x3,x4) = f(4,4,4,4) = -10.15320;

#    D=7,   Min f(x1,x2,x3,x4) = f(4,4,4,4) = -10.402820;

#    D=10,  Min f(x1,x2,x3,x4) = f(4,4,4,4) = -10.53628; 

#    摘自:<演化程序-遗传算法和数据编码的结缘>  p25八 

#    xu注:  本程序规定常数项壹维数组命名称叫c, 二维数组命名称为a,

#          即分别以c[j]和a[i,j]表示。

#          它们的贰组数据就可以拷贝在同一txt文件中,也可各自记

#          录在三个例外的txt文件中。文件应封存在该麻芋果件夹内。

#            该数学表明式的常数项数据拷贝在#4四 D伍 常数项数据.txt

#          、#44 D7 常数项数据.txt和#44 D10 常数项数据.txt

#    xu注:

#          D=5

#            f( 4.00004, 4.00013, 4.00004, 4.00013 ) = -10.152723312

#          D=7,

#            f( 4.00057, 4.00069, 3.99949, 3.99960 ) = -10.402464867

#          D=10,  参数取暗中认可值。

#            f( 4.00075, 4.00059, 3.99966, 3.99951 ) = -10.535933495

    -sumx(1, 5, j, 1/(sumx(1,4,i,(xi-a[i,j])^2)+c[j]));
0<=xi<=10;

 

    -sumx(1, 7, j, 1/(sumx(1,4,i,(xi-a[i,j])^2)+c[j]));
0<=xi<=10;

 

    -sumx(1, 10, j, 1/(sumx(1,4,i,(xi-a[i,j])^2)+c[j]));
0<=xi<=10;

 

 

#46 

#  max f(x,y)=(a/(b+(x^2+y^2)))^2+(x^2+y^2);  -5.12<=x,y<=5.12;

#  个中,a=3.0, b= 0.0伍, max f(0,0) =3600, 多少个部分极值点为

#  (-5.12,5.12),(-5.12, -5.12),(5.12, -5.12)和(5.12, 5.12),

#  函数值为2748.7八 ,那是一类全局最优解被次优解所包围,隔离了形式

#  的咬合进程,使得GA寻觅短时间陷入局地极值点,随着参数a ,b的改变,

#  该函数将造成不相同严重程度的GA欺诈难题。

#  摘自:李晔强, 寇纪淞. 遗传算法的格局欺诈性. 中中原人民共和国科学(E缉),  

#  2001,   构造的一类大海捞针难题

#  xu注: f( 0.00000, -0.00000 ) = 3600.000000000

   (3.0/(0.05+(x^2+y^2)))^2+(x^2+y^2);  -5.12<=x,y<=5.12;

 

 

#47 max f1=-sum(1,D,sin(xi)+sin(2*xi/3)); 3<=xi<=13;

#   Optimum 1.21598D

#   xu注:

#      3维: f( 5.36225, 5.36225, 5.36225 ) = 3.647946596

#      10维:f( 5.36225, …,5.36225, 5.36225 ) = 12.159821510

#      30维:f( 5.36225, …, 5.36225, 5.36225 ) = 36.479465485

#      100维:f( 5.36225, …,5.36225, 5.36225 ) = 120.306587219

#

   -sum(1, 3, sin(xi)+sin(2*xi/3)); 3<=xi<=13;

 

   -sum(1, 10, sin(xi)+sin(2*xi/3)); 3<=xi<=13;

 

   -sum(1, 30, sin(xi)+sin(2*xi/3)); 3<=xi<=13;

 

   -sum(1, 100, sin(xi)+sin(2*xi/3)); 3<=xi<=13;

 

 

#48  max
f2=-sum(1,D-1,sin(x[i]+x[i+1])+sin(2*x[i]*x[i+1]/3));

#  3<=x[i],x[i+1]<=13  Optimum ~2D(max)

#  D=5时,接纳多峰值函数寻优形式,

#         取最有保留数=20,其他取暗许值。

#  1.f( 5.31950, 11.95926, 5.31950, 11.95926, 5.31950 )=8.000000000

#  2.f( 11.95926, 5.31950, 11.95926, 5.31950, 11.95926 )=8.000000000

#  3.f( 3.42233, 7.57324, 3.42233, 7.57324, 3.42233 )=8.000000000

#  4.f( 7.37571, 9.90305, 7.37571, 9.90305, 7.37571 )=8.000000000

#

   -sum(1,4,sin(x[i]+x[i+1])+sin(2*x[i]*x[i+1]/3));
3<=x[i],x[i+1]<=13;

 

 

#49 max f6=sum(1,D,xi*sin(10*pi*xi));

#   -1.0<=xi<=2.0; Optimum 1.85D(max)

#   xu注:f( 1.85055, 1.85055 ) = 3.700547457

    sum(1,2,xi*sin(10*pi*xi)); -1.0<=xi<=2.0;

 

 

#50 求Max f(x)=10+sin(1/x)/((x-0.16)^2+0.1)  0<x<1

#   全局最优值f(x)=1九.894玖; x=0.127五

#   该函数引自文献: 张讲社,徐宗本,梁怡.全部退火遗传算法及其收敛充

#   要条件.

#   中夏族民共和国科学(E辑),1997,二7(二):15四~164.

#    xu注:f( 0.12749 ) = 19.894897461

 

    10+sin(1/x)/((x-0.16)^2+0.1); 0.01<x<1;

 

#   注:以下#52~#5柒八个函数来源于:

#   《多点6续学习组织升高算法》 吕艳萍一,2, 李俶滋一+, 周昌乐一

#   Journal of Software 软件学报 Vol.1捌, Supplement, December 200柒

 

 

#53 Ackley’s 函数

 

#54. * Griewank’s函数

#   min f(…)=1/4000*sum(1,D,xi^2)-prod(1,D,cos(xi/sqrt(i)))+1;

#   -600<=xi<=600;  min f3(0,0,…,0)=0;

#     该函数由于其各维上的变量是精心相关的,相互成效,由此很难到手最

#   优解。

#   摘自:《多点6续学习组织进步算法》 吕艳萍一,二, 西凉太祖滋一+, 周昌乐一

#   Journal of Software 软件学报 Vol.18, Supplement, December 200柒

#   xu注:参数取默许值(09031八).

 

    1/4000*sum(1,2,xi^2)-prod(1,2,cos(xi/sqrt(i)))+1;
-600<=xi<=600;

 

    1/4000*sum(1,10,xi^2)-prod(1,10,cos(xi/sqrt(i)))+1;
-600<=xi<=600; 

 

    1/4000*sum(1,30,xi^2)-prod(1,30,cos(xi/sqrt(i)))+1;
-600<=xi<=600; 

   

    1/4000*sum(1,100,xi^2)-prod(1,100,cos(xi/sqrt(i)))+1;
-600<=xi<=600;

 

 

#55. *Weierstrass’s函数

#   min f=sum(1, D, sum(0, kmax, a^k*cos(2*pi*b^k*(xi+0.5))))

#      -D*sum(0, kmax, a^k*cos(2*pi*b^k*0.5));

#   a=0.5, b=3, kmax=20; -0.5<=xi<=0.5;

#   min f4(0,0,…,0) = 0;

#   Weierstrass’s 是2个随处三番五次又只在点滴的多少个点可微分的函数。

#   摘自:《多点6续学习组织发展算法》 吕艳萍一,贰, 李绍滋壹+, 周昌乐一

#   Journal of Software 软件学报 Vol.1八, Supplement, December 2007

#   D=30 小生境初距=0.一,衰减参数=八.0,终止代数=50;

#

    sumx(1, 10, i, sumx(0, 20, k,
0.5^k*cos(2*pi*3^k*(xi+0.5))))-10*sumx(0,20, k,
0.5^k*cos(2*pi*3^k*0.5)); -0.5<=xi<=0.5;

 

    sumx(1, 30, i, sumx(0, 20, k,
0.5^k*cos(2*pi*3^k*(xi+0.5))))-30*sumx(0, 20, k,
0.5^k*cos(2*pi*3^k*0.5)); -0.5<=xi<=0.5;

 

    sumx(1, 100, i, sumx(0, 20, k,
0.5^k*cos(2*pi*3^k*(xi+0.5))))-100*sumx(0, 20, k,
0.5^k*cos(2*pi*3^k*0.5)); -0.5<=xi<=0.5;

 

 

#56  Rastrigin’s 函数

 

#57  Schwefel’s 函数

 

 

#58 max f(x1,x2)= 21.5+ x1*sin(4*pi*x1) + x2*sin(20*pi*x2)

#   s.t. -3.0<=x1<=12.1;  4.1<=x2<=5.8;

#   函数有广大极值点。

#   全局最大值解 f(1一.62276陆, 伍.62432玖)=38.7375二四;

#   来源:tw01-IntroGA-v1.1ray.ppt

#   xu注: 应是max f( 11.62554, 5.72504 ) = 38.850296021;

#   

     21.5+ x1*sin(4*pi*x1) + x2*sin(20*pi*x2);
-3.0<=x1<=12.1 && 4.1<=x2<=5.8;

 

 

#59 max f(x,y)=6-4.5*x+4*y-x^2-2*y^2+2*x*y-x^4+2*x^2*y;

#   -8<=x,y<=8;  f(-1.09326171875,1.01171875)=10.5020508424479

#   来源:xoBox算法

#   xu注: 应是:max f( -1.05274, 1.02776 ) = 10.513409615;

    6-4.5*x+4*y-x^2-2*y^2+2*x*y-x^4+2*x^2*y; -8<=x,y<=8;

 

 

#60 Bobachevsky 函数

#   x1^2+2*x2^2-0.3*cos(3*pi*x1)-0.4*cos(4*pi*x2)+0.7;

#   x1^2+2*x2^2-0.3*cos(3*pi*x1)*cos(4*pi*x2)+0.3;

#   x1^2+2*x2^2-0.3*cos(3*pi*x1+4*pi*x2)+0.3;

#   -50<=x1,x2<=50;

#   2个函数在(x1,x二)=(0,0)处有大局最小值0.0;

#   References: MICHALEWICZ Z.

#   Genetic Algorithms + Data Structures = Evolution Programs [M] .

#   Beijing :Science Press ,2000 :1 – 128.

 

    x1^2+2*x2^2-0.3*cos(3*pi*x1)-0.4*cos(4*pi*x2)+0.7;
-50<=x1,x2<=50;

 

    x1^2+2*x2^2-0.3*cos(3*pi*x1)*cos(4*pi*x2)+0.3;
-50<=x1,x2<=50;

 

    x1^2+2*x2^2-0.3*cos(3*pi*x1+4*pi*x2)+0.3;
-50<=x1,x2<=50;

 

 

#61  Zakharov’s Function

#    Min f(xi) = sum(1, D, xi^2)+(sum(1, D, i/2*xi))^2

#                + (sum(1, D, i/2*xi))^4;

#    -5.12<=xi<=5.12; 

#    来源:1种高效Multi-agent仿生算法用于设计优化

#         梁昌勇,张俊岭,杨善林

#        (内罗毕财政和经济医中国科学技术大学学Computer互连网体系钻探所,圣克Russ 二三千九)

#  

    sum(1, 30, xi^2)+(sum(1, 30, i/2*xi))^2+(sum(1, 30, i/2*xi))^4;
-5.12<=xi<=5.12;

  

    sum(1, 100, xi^2)+(sum(1, 100, i/2*xi))^2+(sum(1, 100, i/2*xi))^4;
-5.12<=xi<=5.12;

 

 

#62 max f(…)= -1/N*sum(1, N, xi^4-16*xi^2+5*xi);

#   -5.0<=xi<=五.0, 当N=100时,理论最大值=7八.3323陆;

#   摘自:《适用于高维优化难点的改进发展计策》王湘中,喻寿益

#   xu注:采取单峰值函数寻优格局

#         f( -2.90353,…, -2.90353 ) = 78.332328796

#          采取多峰值函数形式:

#         f( ) = 78.332328796

#

    -1/100*sum(1, 100, xi^4-16*xi^2+5*xi);-5.0<=xi<=5.0;

 

 

#63 max f(…)= -(sum(1, N, fabs(xi))+prod(1, N, fabs(xi)));

#   -10<=xi<=10,  当N=100时,理论最大值=0;

#   摘自:《适用于高维优化难点的改良发展计策》王湘中,喻寿益

 

    -(sum(1, 50, fabs(xi))+prod(1, 50, fabs(xi)));-10<=xi<=10;

 

 

#64 max f(x)=20+x+10*sin(4*pi)+8*cos(3*x); 0<=x<=10;

#   该函数有四个巨大值点,其全局最大点:f(八.2914八4)=4伍.865 95叁;

#   xu注:f(8.39147) = 36.384525299

#   摘自:《一种求解参数优化难题的指引交叉算子》 陈乔礼等,

#   计算机工程, 贰零壹零 年一 月。

#   

    20+x+10*sin(4*pi)+8*cos(3*x); 0<=x<=10;

 

 

#65 max f(x,y)=sin(sqrt(x^2+y^2))-cos(sqrt(fabs(x^2-y^2)))

#              -0.02*(y-4.96)^2-0.02*(x-5.87)^2;

#   -10<=x,y<=10;

#   该函数是三个多峰的非线性函数,一般的遗传算法很轻松陷于局地极值。

#   xu注: f( 5.97715, 5.08469 ) = 1.999437094

#   摘自:《基于立队竞争的嬗变算法》黄樟灿等  有图!

 

   
sin(sqrt(x^2+y^2))-cos(sqrt(fabs(x^2-y^2)))-0.02*(y-4.96)^2-0.02*(x-5.87)^2;
-10<=x,y<=10;

 

 

#66 min f(x)=1/D*sum(1, D, xi^2)-4*D*prod(1, D, cos(xi));

#   -5<=xi<=五;   i=1,2,…,D       多峰性质的函数,

#   这几个函数在全局最小值周边有雅量的有的不大值.全局最小值点为

#   (0,0,…,0),相应最小值为-4D.

#   摘自:<1种函数优化难题的混合遗传算法> 彭伟 卢锡城

 

   1/10*sum(1, 10, xi^2)-4*10*prod(1, 10, cos(xi)); -5<=xi<=5;

 

   1/100*sum(1, 100, xi^2)-4*100*prod(1, 100, cos(xi));
-5<=xi<=5;

 

 

#67  Himmelblau’s function

#    Max f(x,y)=200-(x^2+y-11)^2-(x+y^2-7)^2;

#    This is a funtion of two variabes, x,y,(which Deb modified to

#    a maximization problem) given by f(x,y). 

#    This has four maxima of equal heigh(200) approximately

#    (3.58, -1.86),(3.0, 2.0), (-2.815, 3.125) and (-3.78, -3.28).

#    A 30-bit chromosome is used to represent two 15-bit, binary-coded

#    parameters, in the range -6<=x,y<=+6. The distance metric is
the

#    Eucidian distance in x-y space.

#    摘自:《A Sequential Niche Technique for Multimodal Function

#    Optimization》 David Beasley  Department of Computing

#    Mathematics, University of Wales etc.

#    xu注:

#        单峰值函数寻优,小生境初距=2.0,别的暗中认可值;

#        多峰单峰值函数寻优,小生境初距=

#    1.  f( -3.77931, -3.28319 ) = 200.000000000

#    2.  f( -2.80512, 3.13131 ) = 200.000000000

#    3.  f( 3.00000, 2.00000 ) = 200.000000000

#    4.  f( 3.58443, -1.84813 ) = 200.000000000

#    5.  f( -2.81439, 3.18689 ) = 199.871505737

#        

   200-(x^2+y-11)^2-(x+y^2-7)^2; -6<=x,y<=6;

 

 

#67-1 Himmelbau 函数

#     max f(x,y)=660-(x^2+y-11)^2-(x+y^2-7); -6<=x,y<=6;

#     此函数为线性不可分的等高、不等距多峰函数,有伍个特大值点,理论值

#     为660.0.

#     摘自:多模态函数优化的有余群进化攻略    王湘中 ,喻寿益

#     xu注:

#     1.  f( 3.00000, 2.00000 ) = 660.000000000

#     2.  f( -3.77931, -3.28319 ) = 660.000000000

#     3.  f( -2.80512, 3.13131 ) = 660.000000000

#     4.  f( 3.58443, -1.84813 ) = 660.000000000

#

   660-(x^2+y-11)^2-(x+y^2-7)^2; -6<=x,y<=6;

 

 

#68 max f(x,y)=f(x,y)=21.5+x*sin(4*PI*x)+y*sin(20*PI*y)

#   定义域  D:  -3<=x<=12.1 , 4.1<=y<=5.8

#   该函数是数1数2的多峰(震撼剧烈)的函数。

#   目前最佳结果:f(1一.625544八,五.7250441)=3八.850294479020七

#   xu注:f(11.62554, 5.72504) = 38.850296021

#

   21.5+x*sin(4*pi*x)+y*sin(20*pi*y); -3<=x<=12.1 &&
4.1<=y<=5.8;

 

 

#69 min f(x,y)=-(x*sin(9*pi*y)+y*cos(25*pi*x)+20);

#   -10<=x<=10, -10<=y<=10;

#   使其满意非线性不等式 x^贰+y^二<=玖^二;

#   因为 D的面积异常的大 ,所以sin (玖 πy) 与cos (2伍 πx) 分别在分化倾向

#   上屡次振荡。 函数的山沟沟密集在圆 x^2+y^2<=玖^2上的四个点

#   (9/sqrt(2),,9/sqrt(2)) , (9/sqrt(2) , – 9/sqrt(2)) ,

#   (-9/sqrt(2) ,9/sqrt(2)) , ( – 9/sqrt(2),- 9/sqrt(2)的附近。

#   求解那些函数的优化难点不唯有古板的算法无能为力 ,而且固然采纳新型的

#   衍变算法(遗传算法或演变计策等)也很难求解。

#   选拔郭涛算法得到的可相信到小数点后 1四 位的最优解是

#   minf(x,y)=f(- 6.440025882216888 , – 6.27797201362437)

#            = – 32.71788780688353 ,

#   那个最优解在十四回运算中只收获了壹~1遍。在此应表明的是,该难题的真

#   正最优解是未知的,以为它可能正是最优解。

#   摘自:郭涛算法及运用  李艳 康卓 刘溥 (苏州高校总结大旨)

#   xu注:不思虑非线性不等式时, 

#        f( 9.96002, -9.94457 ) = -39.904514313;

#        f( -10.00000, 9.94457 ) = -39.944507599;

#        取-陆.5<=x<=6.5&&-陆.三<=y<=陆.三时神速得

#       (本程序还未兑现成约束寻优):

#        f( -6.44003, -6.27797 ) = -32.717887878;

#  

  -(x*sin(9*pi*y)+y*cos(25*pi*x)+20);-10<=x,y<=10;

 

  -(x*sin(9*pi*y)+y*cos(25*pi*x)+20);-6.5<=x<=6.3 &&
-6.3<=y<=6.3;

 

 

#70  max f(x1, x2, x3, x4)=

#        fabs(prod(1, 2, xi*sin(xi)))*prod(3, 4, xi*sin(xi));

#    0<=xi<=3*pi, i=1, 2, 3, 4;  最优解:3926.3

#    来源:基于寻找空间音信的新式遗传算法

#          李  航,李漼强,寇纪淞 (天津高校系统工程讨论所)

#    xu注:f( 7.97867, 7.97867, 7.97867, 7.97867 ) = 3928.102050781

#

  fabs(prod(1, 2, x[i]*sin(x[i])))*prod(1, 2,
x[i+2]*sin(x[i+2])); 0<=x[i], x[i+2]<=9.42468; 

 

  fabs(prod(1, 2, x[i]*sin(x[i])))*prod(3, 4,
x[i]*sin(x[i])); 0<=x[i]<=9.42468;

 

 

#71  max f(x1, …, x5)=0.5+((sin(sqrt(x1^2+x2)))^2-0.5)

#               /(1+0.0001*(x1^2+x2^2))^2+(x3^2+x4^2+x5^2)/12000;

#    -20<=xi<=20, i=1, 2, 3, 4, 5;

#    最优解:1.0072

#    来源:基于寻觅空间消息的风行遗传算法

#          李  航,弘孝皇帝强,寇纪淞 (津大系统工程讨论所)

#    xu注:文中公式恐怕有误:sqrt(x一^二+x二)似应为sqrt(x一^二+x2^贰)!

#          下式恐怕为科学的表明式。

#          最大值

#          f( 0.63695, 1.43569, 20.00000, 20.00000, 20.00000 )

#          = 1.099753380;

#

#          1.  f( -1.56924, -0.06635, 20.00000, -20.00000, -20.00000 )

#              = 1.099753380

#          2.  f( -1.41341, 0.68497, 20.00000, -20.00000, -20.00000 )

#              = 1.099753380

#          3.  f( -1.40904, 0.69392, 20.00000, -20.00000, 20.00000 )

#              = 1.099753380

#          最小值 f(0, 0, …, 0)=0.0;

#

    
0.5+((sin(sqrt(x1^2+x2^2)))^2-0.5)/(1.0+0.0001*(x1^2+x2^2))^2+(x3^2+x4^2+x5^2)/12000; 
-20.0<=x1,x2, x3, x4, x5<=20.0;

 

 

#72 Leung&Wang’s Function9:

#   Min f(xi) = 1/D*sum(1, D, xi^4-16*xi^2+5*xi);

#   -5<=xi<=5;

#   全局最小值=-7捌.3323陆;

#   来源:1种高效Multi-agent仿生算法用于设计优化

#         梁昌勇,张俊岭,杨善林

#        (海法工业大学管理器网络种类研商所,多特蒙德 2两千玖)

#   xu注: 终止代数=100,其他暗许值。

#       D=10

#        f( -2.90353, -2.90353, …, -2.90353 ) = -7.833233356

#       D=30

#        f( -2.90353, -2.90353, …, -2.90353 ) = -78.332328796 

#       D=100

#        f( -2.90353, -2.90353, …, -2.90353 ) = -78.332328796

#

    1/30*sum(1, 30, xi^4-16*xi^2+5*xi);  -5.0<=xi<=5.0;

 

    1/100*sum(1, 100, xi^4-16*xi^2+5*xi);  -5.0<=xi<=5.0; 

 

 

#73 Hwang&He’s Function15

#   Max f(xi) = sum(1, D, ((-1)^(i+1))*xi^2);

#   -100<=xi<=100;

#   来源:1种高效Multi-agent仿生算法用于设计优化

#         梁昌勇,张俊岭,杨善林

#        (多特蒙德外国语大学管理器网络种类琢磨所,比什凯克 二2000九)

#   xu注:

#         D=30

#          f( -100.00000, 0.00000, -100.00000, 0.00000, -100.00000,

#            …, 0.00000, -100.00000, 0.00000 ) = 150000.000000000

#         D=100

#          f( -100.00000, 0.00000, 100.00000, 0.00000, -100.00000,

#            …, 0.00000, -100.00000, 0.00000 ) = 500000.000000000

    sum(1, 30, (-1)^(i+1)*xi^2);  -100<=xi<=100;

 

    sum(1, 30, pow(-1.0, i+1)*pow(xi, 2));  -100<=xi<=100;

 

    sum(1, 100, (-1)^(i+1)*xi^2);  -100<=xi<=100;

 

 

#74  Ellipsoidal Function:

#    Min f(xi) = sum(1, D, (xi-i)^2);

#    -100<=xi<=100;

#    来源:一种高效Multi-agent仿生算法用于设计优化

#          梁昌勇,张俊岭,杨善林

#         (布兰太尔科学技术大学计算机网络类别研讨所,长春 二贰仟玖)

#    xu注:

#          D=30     f(1,2,3,…,29,30)=0.000000000

#          D=100    f(1,2,3,…,99,100)=0.000000000

    sum(1, 30, (xi-i)^2);  -100<=xi<=100;

 

    sum(1, 100, (xi-i)^2);  -100<=xi<=100;

 

 

#75  max f(x1, x2)=(a/(b+x1^2+x2^2))^2+(x1^2+x2^2)^2;

#    -5.12<=x1,x2<=5.12;

#    在函数中,a=3.0, b=0.0伍, max  f(0, 0)=3600,

#    陆个部分极值为(-5.1二 5.1二), (-伍.1二, -五.1二), (五.1二 -5.1二)

#    和(5.1二, 5.1贰) ,函数值则为274八.7八,那是1类全局最优解

#    被次优解所包围,隔开了情势的结缘进程,使得寻觅短时间陷入

#    局地极值点.

#    来源:求解多峰函数的修正粒子群算法的商讨  江宝钏, 胡俊溟 

#

    (3.0/(0.05+x1^2+x2^2))^2+(x1^2+x2^2)^2; -5.12<=x1,x2<=5.12;

 

 

#76  Simple Test Function with 16 Global Optima

#    Min f(x) = fabs((x-3)*(x-6)*(x-9)*(x-12))

#               +fabs((y-4)*(y-8)*(y-12)*(y-16));

#    -20<=x, y<=20;

#    拥有十四个全局最小值。

#    来源:A Simple, Powerful Differential Evolution Algorithm

#          for Finding Multiple Global Optima.pdf

#    xu注:最优保存数=20~2二,别的暗许值。

#     1.  f( 3.00000, 4.00000 ) = 0.000000000

#     2.  f( 3.00000, 8.00000 ) = 0.000000000

#     3.  f( 3.00000, 12.00000 ) = 0.000000000

#     4.  f( 3.00000, 16.00000 ) = 0.000000000

#     5.  f( 6.00000, 4.00000 ) = 0.000000000

#     6.  f( 6.00000, 8.00000 ) = 0.000000000

#     7.  f( 6.00000, 12.00000 ) = 0.000000000

#     8.  f( 6.00000, 16.00000 ) = 0.000000000

#     9.  f( 9.00000, 4.00000 ) = 0.000000000

#     10.  f( 9.00000, 8.00000 ) = 0.000000000

#     11.  f( 9.00000, 12.00000 ) = 0.000000000

#     12.  f( 9.00000, 16.00000 ) = 0.000000000

#     13.  f( 12.00000, 4.00000 ) = 0.000000000

#     14.  f( 12.00000, 8.00000 ) = 0.000000000

#     15.  f( 12.00000, 12.00000 ) = 0.000000000

#     16.  f( 12.00000, 16.00000 ) = 0.000000000

#

    
fabs((x-3)*(x-6)*(x-9)*(x-12))+fabs((y-4)*(y-8)*(y-12)*(y-16));
-20<=x, y<=20;

 

 

#77 Branin’s Function 变型

#   Min f(x) =
(x2-5/(4*pi^2)*x1^2+5/pi*x1-6)^2+10*(1-1/(8*pi))*cos(x1)+10;

#   -5<=x1<=10 && 0<=x2<=15;  将其中cos(x1)改为cos(x2).

#   有大局比十分的小值伍个:

#   1.  f( 10.39528, 3.14159 ) = 0.397887349

#   2.  f( 14.43913, 9.42478 ) = 0.397887349

#   3.  f( -1.87276, 9.42478 ) = 0.397887349

#   4.  f( 2.17109, 3.14159 ) = 0.397887349

#

    (x2-5/(4*pi^2)*x1^2+5/pi*x1-6)^2+10*(1-1/(8*pi))*cos(x2)+10;
-5<=x1,x2<=15;

 

 

#78 Rosenbrock’s Saddle function

#   Min f(x) = sum(1, n/2,
100*(x[2*i]-x[2*i-1])^2+(1-x[2*i-1])^2);

#   -10<=xi<=10;  for i=1,2,…,n;

#   This equation has only one global optimal solution.

#   来源:A Simple, Powerful Differential Evolution Algorithm

#          for Finding Multiple Global Optima.pdf

#   xu:

#       f( 1.00000, 1.00000, 1.00000, 1.00000, 1.00000, 1.00000,

#          1.00000, 1.00000, 1.00000, 1.00000 ) = 0.000000000

#   xu注:注意,含下标的变量在变量定义域表达式的表示情势要和数学表明式

#         中的一致!

#

    sum(1, 5, 100*(x[2*i]-x[2*i-1])^2+(1-x[2*i-1])^2); 
-10<=x[2*i],x[2*i-1]<=10;

 

    sum(1, 10, 100*(x[2*i]-x[2*i-1])^2+(1-x[2*i-1])^2); 
-10<=x[2*i],x[2*i-1]<=10;

 

     sum(1, 30, 100*(x[2*i]-x[2*i-1])^2+(1-x[2*i-1])^2); 
-10<=x[2*i],x[2*i-1]<=10;

 

 

#79  Branin’s function is defined as:

#   
f(x)=(1-2*x2+1/20*sin(4*pi*x2)-x1)^2+(x2-1/2*sin(2*pi*x1))^2;

#    -10<=x1,x2<=10;  which has five solutions:

#    f(1, 0)=0; 

#    f(0.148696, 0.402086)=0; 

#    f(0.402537, 0.287408)=0;

#    f(1.59746, -0.287408)=0;

#    f(1.85130, -0.402086)=0;

#  
来源:http://www.staff.brad.ac.uk/jpli/research/scga/function/branin.htm

#   xu注:

#         单峰值函数寻优方式,暗中认可值。运营九十九次人为终止;

#        
多峰值函数寻优方式,小生境初距=0.15,最优保存数=八,其他私下认可值;

#        1.  f( 0.14870, 0.40209 ) = 0.000000000

#        2.  f( 0.40254, 0.28741 ) = 0.000000000

#        3.  f( 1.00000, 0.00000 ) = 0.000000000

#        4.  f( 1.59746, -0.28741 ) = 0.000000000

#        5.  f( 1.85130, -0.40209 ) = 0.000000000

#

    (1-2*x2+1/20*sin(4*pi*x2)-x1)^2+(x2-1/2*sin(2*pi*x1))^2;
-10<=x1,x2<=10;

 

 

#80  Test tube holder function(a):

#    min f(x) =
-4*fabs(sin(x1)*cos(x2)*exp(fabs(cos((x1^2+x2^2)/200))));

#    -10<=x1,x2<=10;

#    那是多形式函数. 大家在定义域中的最优解:-10.872三。

#    来源:Some New Test Functions for Global Optimization

#          and Performance of Repulsive Particle Swarm Method 

#          SK Mishra Dept. of Economics North-Eastern Hill University

#          Shillong (India). 有图!

#    xu注:取暗许值

#         1.  f( 1.57060, 0.00000 ) = -10.872300148

#         2.  f( -1.57060, 0.00000 ) = -10.872300148

#

    -4*fabs(sin(x1)*cos(x2)*exp(fabs(cos((x1^2+x2^2)/200))));
-10<=x1,x2<=10;

 

#81  Holder table function

#    This ‘tabular holder’ function has multiple local minima with

#    four global minima at f(x*)=26.92. This function is geven as:

#    f(x) =
-fabs(cos(x1)*cos(x2)*exp(fabs(1-((x1^2+x2^2)^0.5)/pi)));

#    -10<=x1,x2<=10;

#    来源:Some New Test Functions for Global Optimization

#          and Performance of Repulsive Particle Swarm Method 

#          SK Mishra Dept. of Economics North-Eastern Hill University

#          Shillong (India). 有图!

#    xu注:多峰值函数寻优格局,最优保存数=陆 ,别的暗许值。

#      1.  f( -9.64617, -9.64617 ) = -26.920335770

#      2.  f( -9.64617, 9.64617 ) = -26.920335770

#      3.  f( 9.64617, -9.64617 ) = -26.920335770

#      4.  f( 9.64617, 9.64617 ) = -26.920335770

#   

    -fabs(cos(x1)*cos(x2)*exp(fabs(1-((x1^2+x2^2)^0.5)/pi)));
-10<=x1,x2<=10;

 

# 82. Egg holder function: This function is in m (m>=2) variable and

#     given as:

#     Min f(x)= sum(1, m-1,
-(x[i+1]+47)*sin(sqrt(fabs(x[i+1]+x[i]/2+47)))

#         +sin(sqrt(fabs(x[i]-(x[i+1]+47))))*(-x[i])); 

#     -512<=x[i], x[i+1]<=512;

#     We obtain Min f(512, 404.2319)=959.64. It is a difficult function

#     to optimize.

#    来源:Some New Test Functions for Global Optimization

#          and Performance of Repulsive Particle Swarm Method 

#          SK Mishra Dept. of Economics North-Eastern Hill University

#          Shillong (India). 有图!

#    xu注:

#         m=2   取默许值

#          f( 512.00000, 404.23181 ) = -959.640686035

#         m=三   取暗中同意值  选拔多峰值函数寻优格局成功率更加高!

#          f( 481.46189, 436.93043, 451.77073 ) = -1888.321289063

#         m=10  群众体育个体数=15, 最优保存数=30, 小生境初距=10

#               终止代数=300;

#          f( 480.85241, 431.37422, 444.90869, 457.54722, 471.96252,

#             427.49729, 442.09134, 455.11942, 469.42931, 424.94060

#           ) = -8291.240234375 

#    

      sum(1, 1,
-(x[i+1]+47)*sin(sqrt(fabs(x[i+1]+x[i]/2+47)))+sin(sqrt(fabs(x[i]-(x[i+1]+47))))*(-x[i]));
-512<=x[i], x[i+1]<=512;

 

      sum(1, 2,
-(x[i+1]+47)*sin(sqrt(fabs(x[i+1]+x[i]/2+47)))+sin(sqrt(fabs(x[i]-(x[i+1]+47))))*(-x[i]));
-512<=x[i], x[i+1]<=512;

  

      sum(1, 9,
-(x[i+1]+47)*sin(sqrt(fabs(x[i+1]+x[i]/2+47)))+sin(sqrt(fabs(x[i]-(x[i+1]+47))))*(-x[i]));
-512<=x[i], x[i+1]<=512;

        

#83. Pen holder function: This is a multi-modal function with

#    f(x*) = -0.96354 in search domain -11<=x1,x2<=11, given as

#    min f(x) = -exp(-1/fabs(cos(x1)*cos(x2)

#               *exp(fabs(1-((x1^2+x2^2)^0.5/pi))))); 

#    来源:Some New Test Functions for Global Optimization

#          and Performance of Repulsive Particle Swarm Method 

#          SK Mishra Dept. of Economics North-Eastern Hill University

#          Shillong (India). 有图!

#    xu注:取默许值

#        1.  f( -9.64617, -9.64617 ) = -0.963534832

#        2.  f( 9.64617, -9.64617 ) = -0.963534832

#        3.  f( -9.64617, 9.64617 ) = -0.963534832

#        4.  f( 9.64617, 9.64617 ) = -0.963534832

#

    -exp(-1/fabs(cos(x1)*cos(x2)*exp(fabs(1-((x1^2+x2^2)^0.5/pi)))));
-11<=x1,x2<=11; 

 

 

#84. Bird function: This  is a bi-modal function with
f(x*)=-106.764637

#    in the search domain -pi<=x1,x2<=pi; give as

#    min f(x) = sin(x1)*exp((1-cos(x2))^2)+cos(x2)*exp((1-sin(x1))^2)

#               +(x1-x2)^2;

#    来源:Some New Test Functions for Global Optimization

#          and Performance of Repulsive Particle Swarm Method 

#          SK Mishra Dept. of Economics North-Eastern Hill University

#          Shillong (India)。 有图!

#    xu注:取私下认可值

#          f( -1.58214, -3.13025 ) = -106.764533997

#

    sin(x1)*exp((1-cos(x2))^2)+cos(x2)*exp((1-sin(x1))^2)+(x1-x2)^2;
-pi<=x1,x2<=pi;

 

#85. Giunta function: In the search domain -1<=x1,x2<=1 this
function is

#    defined as follows and has min f(0.45834282,
0.45834282)=0.0602472184.

#    f(x) = 0.6+sum(1, 2, sin(16/15*xi-1)+sin(16/15*xi-1)^2

#           +1/50*sin(4*(16/15*xi-1)));

#    We have obtained min f(0.4673199, 0.4673183)=0.06447.

#    来源:Some New Test Functions for Global Optimization

#          and Performance of Repulsive Particle Swarm Method 

#          SK Mishra Dept. of Economics North-Eastern Hill University

#          Shillong (India)。 有图!

#    xu注:取暗许值

#          f( 0.46732, 0.46732 ) = 0.064470418

#

     0.6+sum(1, 2,
sin(16/15*xi-1)+sin(16/15*xi-1)^2+1/50*sin(4*(16/15*xi-1)));
-1<=xi<=1;

 

#86. Crowned cross function: This function is the negative form of the

#    cross in tray function. It has f(x*) = 0 in search domain

#    -10<=x1, x2<=10. It is a difficult function to optimize. The
minimal

#    value obtained by us is approximately 0.1. This function is given
as:

#    f(x) = 0.0001*pow(fabs(sin(x1)*sin(x2)

#           *exp(fabs(100-((x1^2+x2^2)^0.5)/pi)))+1.0),0.1);

#    来源:Some New Test Functions for Global Optimization

#          and Performance of Repulsive Particle Swarm Method 

#          SK Mishra Dept. of Economics North-Eastern Hill University

#          Shillong (India)。 有图!

#    xu注:选取多峰值函数寻优格局。群众体育个体数=20, 最优保存数=30,

#          别的暗中同意值。

#          全局最小值:无数个,呈+字布满,符合该函数的图片情形。

#          全局最大值:

#           1.  f( -1.34941, -1.34941 ) = 2.062611818

#           2.  f( -1.34941, 1.34941 ) = 2.062611818

#           3.  f( 1.34941, -1.34941 ) = 2.062611818

#           4.  f( 1.34941, 1.34941 ) = 2.062611818

#

  
0.0001*pow(fabs(sin(x1)*sin(x2)*exp(fabs(100-((x1^2+x2^2)^0.5)/pi))+1.0),
0.1); -10<=x1, x2<=10;

 

 

#87.  min
f(x,y)=-0.2*(sin(x+4*y)-2*cos(2*x+3*y)-3*sin(2*x-y)+4*cos(x-2*y));

#     -5<=x, y<=5;

#     最小值:

#     1.  f( 2.84989, -4.99798 ) = -1.937273502

#     2.  f( -3.43330, 1.28520 ) = -1.937273502

#     3.  f( -3.43330, -4.99798 ) = -1.937273502

#     4.  f( 2.84989, 1.28520 ) = -1.937273502

#     最大值:

#     f( -0.29171, 4.42680 ) = 1.937273502

#     f( -0.29171, -1.85639 ) = 1.937273502

#

    
-0.2*(sin(x+4*y)-2*cos(2*x+3*y)-3*sin(2*x-y)+4*cos(x-2*y));
-5<=x, y<=5;

 

 

#88. min f(x) = 1/N*sum(1, N, xi^4-16*xi^2-5*xi); -5<=xi<=10;

#    全局最优值 -7八.3323六

#    来源:用于全局优化的拌和正交遗传算法  江宗旨,蔡自兴,王  勇

#          (中南京学院学音信科学与工程高校,布Rees托 4100捌叁)

#

     1/100*sum(1, 100, xi^4-16*xi^2-5*xi); -5<=xi<=10;

 

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