问那串数字符合f,就是指在高斯消元后的刚度矩阵中冒出了一个全为零的一行

题意:给你一串数字,问那串数字符合f[n]
= a*f[n-1],f[n] = a*f[n-1]+b*f[n-2],f[n]710官方网站, =
a*f[n-1]+b*f[n-2]+c*f[n-3]那多少个方程中的哪个,然后要你付出第n+壹项,假诺符合四个方程,项数小的刚开始阶段(第四个方程优先)。

上面是运作三个adams/car模型出现的失实。

GitHub

解法:那题作者先拍卖看是还是不是知足f[n] =
a*f[n-1]的样式,借使不满意,则用高斯消元借出两项和三项的情景的a,b,c,举个例子第一个方程,f[3]
= a*f[2]+b*f[1],f[4] =
a*f[3]+b*f[2],多少个方程多个未知量,用高斯消元解出a,b,这里或者不是整数,作者将她们加了个0.伍取下整,居然对了。后来看本场较量没壹个人是用的高斯消元,所以不知情这么是否正确,有看出来端倪的接待商量告诉作者。

—- ERROR —-
   The system matrix has a zero pivot for column 2142, which is
associated
   with VARIABLE/64 Algb Var.  Consequently, the matrix is numerically
singular.


代码:

谬误深入分析

RSA密码

  LacrosseSA密码是一九七七年美利坚合众国阿肯色Madison分校高校二人密码学者PAJERO.L.Rivest、A.Shamir和L.Adleman建议的一种基于大合数因子分解决居民住房困难难性的公开密钥密码。由于景逸SUVSA密码既可用于加密,又可用来数字签字,通俗易懂,由此奥德赛SA密码已改为当下利用最常见的公开密钥密码。


 

世家只怕都清楚当出现zero
pivot错误的时候,一般是model中冒出了过约束(over
constraint)大概是束缚缺乏而致使rigid mode.
在此之前本身是把那看做一条理论来记得,原因相比较模糊,后日把它搞搞精通,落在文字上与大家享用。说pivot,
得先从高斯消元讲起。有限元软件求解刚度矩阵时,一般是用高斯消元。对于高斯消元,大家应该相比较熟谙,那是一种基于先正向消元,再反向迭代求解的求解办法(It
is based on triangularization of the coefficient matrix and evaluation
of the unknowns by back-subsitution starting from the last
equation)。高斯消元后的矩阵是如此的

PRADOSA加解密算法

  一.随机地挑选八个大素数p和q,而且保密;

  2.计算n=pq,将n公开;

  3.计算φ,对φ保密;

  肆.随机地挑选三个正整数e,壹<e<φ且(e,φ=1,将e公开;

  5.根据ed=1(mod
φ,求出d,并对d保密;

  陆.加密运算:C=Me;

  7.解密运算:M=Cd。

  注意:在加密运算和平化解密运算中,M和C的值都必须小于n,也便是说,假设公开太大,必须开始展览分组加密。


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| a11  a12   a13  a14… a1n  |      x1       c1

汉兰达SA算法细节

  完成牧马人SA算法,首要供给完成以下多少个部分:

  一.对天意的素数剖断;

  2.模逆运算;

  三.模指运算。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define N 4

int f[14];
typedef double Matrix[N][N];
int x,y,z;

void gauss_elimination(Matrix A,int n)
{
    int i,j,k,r;
    for(i=0;i<n;i++)
    {
        //选一行r并与i行交换
        r = i;
        for(j=i+1;j<n;j++)
            if(fabs(A[j][i]) > fabs(A[r][i]))
                r = j;
        if(r != i)
        {
            for(j=0;j<=n;j++)
                swap(A[r][j],A[i][j]);
        }
        //与第i+1~n行进行消元
        for(k=i+1;k<n;k++)
        {
            double f = A[k][i]/A[i][i];  //为了让A[k][i] = 0,第i行乘以的倍数
            for(j=i;j<=n;j++)
                A[k][j] -= f*A[i][j];
        }
    }
    //回代
    for(i=n-1;i>=0;i--)
    {
        for(j=i+1;j<n;j++)
            A[i][n] -= A[j][n]*A[i][j];
        A[i][n] /= A[i][i];
    }
    x = (int)floor(A[0][n]+0.5);
    y = (int)floor(A[1][n]+0.5);
    if(n == 3)
        z = (int)floor(A[2][n]+0.5);
}

int main()
{
    int t,n,i,j;
    scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
        scanf("%d",&n);
        memset(f,0,sizeof(f));
        for(i=1;i<=n;i++)
            scanf("%d",&f[i]);
        int ans = Mod;
        int a1,a2,a3;
        int flag;
        if((f[1] == 0 && f[2] == 0) || f[2]%f[1] == 0)
        {
            if(f[1] == 0 && f[2] == 0)
                a1 = 1;
            else
                a1 = f[2]/f[1];
            flag = 1;
            for(i=3;i<=n;i++)
            {
                if(f[i] != a1*f[i-1])
                    flag = 0;
            }
            if(flag)
                ans = a1*f[n];
        }
        if(ans != Mod)
        {
            printf("%d\n",ans);
            continue;
        }
        Matrix A;
        A[0][0] = A[1][1] = f[2];
        A[0][1] = f[1];
        A[1][0] = f[3];
        A[0][2] = f[3];
        A[1][2] = f[4];
        gauss_elimination(A,2);
        flag = 1;
        for(i=3;i<=n;i++)
        {
            if(f[i] != x*f[i-1]+y*f[i-2])
                flag = 0;
        }
        if(flag)
            ans = x*f[n]+y*f[n-1];
        if(ans != Mod)
        {
            printf("%d\n",ans);
            continue;
        }
        A[0][0] = A[1][1] = A[2][2] = f[3];
        A[0][1] = A[1][2] = f[2];
        A[0][2] = f[1];
        A[1][0] = A[2][1] = f[4];
        A[2][0] = f[5];
        A[0][3] = f[4];
        A[1][3] = f[5];
        A[2][3] = f[6];
        gauss_elimination(A,3);
        //printf("%d %d %d\n",x,y,z);
        ans = x*f[n]+y*f[n-1]+z*f[n-2];
        if(ans != Mod)
            printf("%d\n",ans);
    }
    return 0;
}

| 0      a22   a23  a24… a2n  |      x2       c2

对命局的素数推断

  3个相当的小的数是还是不是为素数,能够用试除法来决断,而只要这么些数非常大的话,试除法的频率就能够变得极低下。也正是说,试除法不适用于对命局实行素数判别,所以对时局的素数判别一般选择素数的可能自便核准算法,个中又以米尔er算法最为遍布。

  使用素数的可能任意查验算法判断二个数是或不是为素数,就算比较试除法来说作用特别之高,不过对该数的判别结果并不可靠赖。该算法通过轮回使用Miller算法来做实剖断结果的不错。

  素数的概任性查证算法的流水生产线:对于奇整数n,在二~n-二之间自由地挑选k个互分歧的整数,循环利用Miller算法来核准n是或不是为素数。若结果为true,则以为n大概为素数,不然确定n为合数。

  1轮Miller算法判断大整数n不是素数的可能率≤四-一,所以,素数的概率性核算算法判别大整数n不是素数的可能率≤4-k(k为Miller算法的循环次数)。

View Code

| 0      0       a33  a34…a3n   |      x3       c3

Miller算法

  若n为奇素数,则对∀a∈[2,n-2],由于a与n互素,依据欧拉定理可得aφ=an-一=1。

  若n是奇素数,则不设有1的非平凡平方根,即对于x2=一的解有且仅有±一。

  若n是奇素数,则n-一是偶数。不要紧令n=2tm+1,则m为n-1的最大奇因子。遵照上述两点,轻便得出,对∀a∈[2,n-2],∃τ∈[1,t]使得

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  Miller算法正是经过上述的逆否命题而布置出来的,其规律是:对∀a∈[2,n-2],n是2个合数的充要条件是对∀τ∈[1,t]使得

710官方网站 4

  Miller算法的安顿性思路:令b=am,倘若b=±一则n大概是二个素数;不然,b=b贰,并认清是还是不是知足b=-一(知足则n大概是三个素数),因此循环t-一次。如若都满意b≠-1,则n一定是贰个合数。

  e.m.判断221是或不是为素数

n=221=22*55+1

   所以m=55,t=2

   取a=174,则

17455=47

174110=220

  
所以n要么是2个素数,要么a=17肆是一个“强伪证”。

   再取a=137,则

13755=188

137110=205

  
所以n是1个合数。

 

| 0      0       0      a44…a4n  |   {  x4}={c4}

模逆运算

  模逆运算正是求满意方程ax=一的解x,而ab=1有解的前提条件是=壹,即a和m互素。

  对方程ax=一的求解能够转变为求解ax+my=一=,即调换为扩张欧几Reade算法。

  e.m.求243-1

325=1*325+0*243

243=0*325+1*243

82=325-243=1*325+*243

79=243-2*82=*325+3*243

3=82-79=3*325+*243

1=79-26*3=*325+107*243

   所以

243-1=107

| ………………………… …….|      …       …

模指运算

  模指运算正是对an的乘除。当指数n的值相当大时,假诺先求出bn再去模m的话,功能会异常的低下。所以,对于指数n非常的大的景况相似选用反复平方乘算法。

| 0      0        0        0 … ann |       xn      cn

再三平方乘算法

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  所以,反复平方乘算法的规律是将指数n转化为二的幂之和的款式,即n=2kek+贰k-1ek-1+…+2e一+e0,然后依据l1=a二,l二=a肆=l1二,…,

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最终依照an=e0a·e一l壹·…·eklk求解。

  e.m.求2335

35=32+2+1

231=23

232=24

234=242=71

238=712=92

2316=922=81

2332=812=97

   所以

2335=97×24×23=14


那样第三步先求出xn,第一步就足以求出x(n-1),如此类推。在这么些矩阵中每行的第二个非零的周到便是pivot。那么zero
pivot的意义就显然了,便是指在高斯消元后的刚度矩阵中出现了1个全为零的1行。一个缘由是出新了过构束,就好比去用11个方程去解2个8个未知数,一定有一个方程能够消去。多余那么些方程有望与原本的某1方程等价,也是有非常大可能率与某一方程争执,但结果都以zero
pivot。 另1个原因是束缚远远不足,有力,但与之对应未有刚度,无疑会现出zero
pivot。

XC60SA密码的安全性

  密码解析者攻击CR-VSA密码的壹种可能路子是收缴密文C,通过M=Cd求出M。在那之中,n是公开的,而d是保密的。因为e是开诚相见的,所以能够由此ed=一(mod
φ求出d,而φ是保密的。就算n是当着的,不过φ=pq-p-q+一=n-p-q+一,个中p和q是保密的,也正是说欲求得φ必须知道p和q,即必须将n进行因式分解。

  小合数的因子分解是轻巧的,然则大合数的因数分解却是拾贰分困难的。因此能够吸取,破译OdysseySA密码的困难性约为对n进行因子分解的困难性。

  凯雷德SA密码的安全性除了与因子分解密切相关之外,还与其参数p、q、e、d的选拔有密切关系。只要合理地选取参数,并精确利用,PRADOSA密码便是安全的。那便是时下TiggoSA密码依然布满应用的要紧原因。


假诺是封锁非常不足时,一般在message file里还恐怕会并发NUME奇骏ICAL SINGULACR-VITY
warnings。那貌似是因为力除以0刚度出现了无穷大的移位。

Java实现

RSA

1 p = BigInteger.probablePrime(new Random().nextInt + 100, new Random;2 q = BigInteger.probablePrime(new Random().nextInt + 100, new Random;3 n = p.multiply;4 phi_n = p.subtract(BigInteger.ONE).multiply(q.subtract(BigInteger.ONE));5 do {6     e = new BigInteger(new Random().nextInt(phi_n.bitLength + 1, new Random;7 } while (e.compareTo != -1 || e.gcd.intValue() != 1);8 d = e.modPow(new BigInteger, phi_n);

 1 /** 2  * 加密 3  * <p> C=M^e 4  * @param M 5  * @param n 6  * @param e 7  * @return 8  */ 9 public static BigInteger encrypt(BigInteger M, BigInteger n, BigInteger e) {10     return M.modPow;11 }

 1 /** 2  * 解密 3  * <p> M=C^d 4  * @param C 5  * @param n 6  * @param d 7  * @return 8  */ 9 public static BigInteger decrypt(BigInteger C, BigInteger n, BigInteger d) {10     return C.modPow;11 }

对时局的素数剖断

 1 /** 2  * 素数的概率性检验算法 3  * @param k 4  * @param n 5  * @return 6  */ 7 static boolean isPrime(int k, long n) { 8     List<Long> a = new ArrayList<Long>(); 9     int t = n - 2 > Integer.MAX_VALUE ? Integer.MAX_VALUE : (int) (n - 2);10     do {11         long l = (long) (new Random().nextInt + 2);12         if (-1 == a.indexOf 13             a.add;14     } while  < k);15     for (int i = 0; i < k; i++)  16         if (! Miller(n, a.get 17             return false;18     return true;19 }20 static boolean Miller(long n, long a) {21     long m = n - 1;22     int t = 0;23     while (m % 2 == 0) {24         m /= 2;25         t++;26     }27     long b = modExp;28     if (b == 1 || b == n - 1) 29         return true;30     for (int j = 1; j < t; j++) {31         b = b * b % n;32         if (b == n - 1) 33             return true;34     }35     return false;36 }

模逆运算

 1 /** 2  * 模逆运算 3  * @param b 4  * @param m 5  * @return  b^-1 6  */ 7 static long modInv(long b, long m) { 8     if (b >= m) b %= m; 9     return exGcd[1] < 0 ? exGcd[1] + m : exGcd[1];10 }11 /**12  * 扩展欧几里德算法13  * <p>=ax+by14  * @param a15  * @param b16  * @return  返回一个long数组result,result[0]=x,result[1]=y,result[2]=17  */18 static long[] exGcd(long a, long b) {19     if (a < b) {20         long temp = a;21         a = b;22         b = temp;23     }24     long[] result = new long[3];25     if (b == 0) {26         result[0] = 1;27         result[1] = 0;28         result[2] = a;29         return result;30     }31     long[] temp = exGcd(b, a % b);32     result[0] = temp[1];33     result[1] = temp[0] - a / b * temp[1];34     result[2] = temp[2];35     return result;36 }

模指运算

 1 /** 2  * 模指运算 3  * @param b 4  * @param n 5  * @param m 6  * @return   b^n 7  */ 8 static long modExp(long b, long n, long m) { 9     long result = 1;10     b = b % m;11     do {12         if ((n & 1) == 1) 13             result=result*b%m;14         b = b * b % m;15         n = n >> 1;16     } while (n != 0);17     return result;18 }

测试

测试数据

  p=e86c7f16fd24818ffc502409d33a83c2a2a07fdfe971eb52de97a3de092980279ea29e32f378f5e6b7ab1049bb9e8c5eae84dbf2847eb94ff14c1e84cf568415

  q=d7d9d94071fcc67ede82084bbedeae1aaf765917b6877f3193bbaeb5f9f36007127c9aa98d436a80b3cce3fcd56d57c4103fb18f1819d5c238a49b0985fe7b49

  e=10001

  M=b503be7137293906649e0ae436e29819ea2d06abf31e10091a7383349de84c5b

测试结果

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参谋文献

  张焕国,唐明.密码学引论.奥兰多大学出版社,20一5年

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