S(t)是距离关于时间的函数,  这里须要注意t与x的涉及

微积分次之主导定理

图片 1

  这里供给注意t与x的涉嫌,它的意思是一个函数能够找到呼应的积分格局去抒发。假设F’=f,则:

图片 2

  上边是第二主导定律的表明。

图片 3

  表明须求采取画图法,如上海体育场面所示,曲线是y=f(x),四个黑影部分的面积分别是G(x)和ΔG(x),当中:

图片 4

  当Δx充裕小时:

图片 5

微积分第一主干定律

  如果F’(x) = f(x),那么:

图片 6

  假诺将F用不定积分表示,F
=∫f(x)dx,微积分第一基本定律能够看作为是五个焚山毁林积分赋予一定的值,再用符号连接起来,总计具体的数值。

  这里引进二个新标记:

图片 7

  于是:

图片 8

示例1

  图片 9

  依据微积分第二中坚定理,
图片 10,f(t) =
1/t2,f(x) = 1/x2

  上边做一下表达。

图片 11

示例1

 图片 12

示例2

  解微分方程, L’(x) = 1/x; L(1) =
0

  根据未来的求解格局:

图片 13

  今后基于微积分第二骨干定理,能够直接写作:

 图片 14

  这种表明式其实是比过去的对数方式更有效的一种表明。

示例2

  图片 15

第二宗旨定律的链式法规

图片 16

  由于积分上界是x2,所以不符合标准的第二为主定理,求解那类难题的一般步骤是接纳链式准绳求解。

 图片 17

  这种求解方法具备通用性,积分上界是其它函数都得以用该方法求解。

示例3

  f(x) =
sinx,求下图阴影部分的面积

图片 18

  那实质上是积分的几何意义。

图片 19

超越函数

  微积分第二中坚定律可以得出很多新函数。上边是二个事例:

图片 20

  图片 21 正是著名的高斯函数。

图片 22

  f(x)表示x>=0时,曲线与x轴的面积,f(x)就是八个当先函数。超过函数最有意思的地点是,它不能够用过去的别的代数函数表示出来,满含对数、指数、三角函数等,独有用微积分本事有效地球表面述。下图正是三个超过函数
图片 23的曲线:

 图片 24 

再看积分的几何意义

  就算s =
S(t)是离开关于时间的函数,那瞬间进度正是S’(t) = ds/dt =
V(t),从时间a到时间b所通过的相距是:

图片 25

  dt = 1秒,用黎曼和表示:

图片 26

  V(t)正是小车仪表盘上的速度,
 图片 27固然行驶的路程。

  假若行驶一段时间后回首,再回来出发点,依照黎曼和表示法将会产出相反的进度,最终的结果是0。这样看来,
图片 28 表示的就是位移并不是行驶里程,其里程应当是  图片 29

  再来看一个例子,曲线是sinx,0 ≤ x ≤
2π,求曲线和x轴间七个驼峰的面积。

图片 30

 图片 31

  那自然不对了,原因是上篇小说提到的概念:“
图片 32是y=0,x=a,x=b,y=f(X)所围成图形的面积”并不完全正确。当曲线在x轴上方是,定积分才是面积;在红尘是,面积(积分值)是负的。之前的几何解释是不完全的,它隐蔽了一些事实,关于定积分真正的几何解释是:定积分是x轴上方的面积减去x轴下方的面积。

综述示范

定积分的属性

图片 33

示例1 

图片 34

定积分的换元法

  变量替换是定积分的另二个天性,这天性子结合了快要倾覆积分的换元法(关于换元法的陈诉:数学笔记11——微分和波动积分)。定积分换元法性质:

图片 35

  这么些性情仅在u’在积分限上不改变号时才使得,即u’(x)和u(x)在[x1,
x2]上必须同号。

示例2

图片 36

  首先来看二阶好像的概念(关于近似和二阶近似可参照数学笔记6——线性近似和二阶近似):

  当x≈x0=0时

 图片 37

  对于本例:

 图片 38

  前提条件是f在0相近是可微的。

 


  作者:我是8位的

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示例1

图片 39

示例2

图片 40

  那是情有可原答案。假诺采纳换元法:

图片 41

  答案是谬误的,其违反了定积分换元法的牢笼原则,u
= x2, u’ = 2x,当x = -1时,u’ = -2,当x = 1时, u’ = 2,
u’不一样号。对于此例,du = 2xdx实际上应该是 dx =±
u-1/2du/2

再看率先定律

  如果F’(x) = f(x)

图片 42

  那是定理的正规化情势,用F去解释f。未来换个角度,用f去明白F,能够写成:

图片 43

  仅仅是扭曲写了一回,但这种样式对以后的精通至关心器重要。以往,

图片 44

   等式的左侧能够看作f的均值:

图片 45

  average(f)供给用黎曼和平解决说。假设a = 0,
b = n,Δx=1,

图片 46

  等式侧边是离散情状下的均值,侧边是连连情状下的均值,假如是计量面积,侧边要尤其可信。假诺用ΔF
= Average(F’)
Δx精通第一大旨定理,正是F的该变量等于其微小转移的平均值乘以流逝的年月。

中值定理

  从前介绍过中值定理:f(x)在[a,
b]上连续,f(x)在(a,b)内可导,且 a < c < b,

图片 47

  换到上一节的写法正是

图片 48

  F’(C)是不分明的,而首先为主定理获得了二个规定的值。可以将中值定理看作第一主旨定理的泛化,第一主导定理要比中值定理更“强”。事实上,只要能够使用第一主题定理,就不去行使中值定理。

  既然是中值定理,就必定期存款在:

图片 49

先是中央定理与中值定理结合

图片 50

示例

  F’(x) = 1/(1 + x), F(0) = 1,
F(4)的取值范围?

 

  解法一:用中值定理求解

图片 51

  解法二:用微积分求解

图片 52

  综上,4/5 < F(4) < 5

  能够用画图法通晓微积分求解, 图片 53被积函数是y=1,
 图片 54被积函数是y=1/5

 图片 55

  如上海体育场合所示,∫dx/(1+x)总结的是 y =
1/(1+x)在[0,4]内与x轴的面积;最大值和最小值是将曲线产生三个矩形,那能够用作是节俭的黎曼和。微积分之所以更纯粹,正是因为将曲线分成了越多的矩形。

综述示范

示例1

图片 56

  第三个姿态也能够用上述办法统计,不过足以动用更简明的措施直接获取答案。

图片 57

  如上海教室所示,tanx 在[-π/3,
π/3]上是关于原点对称的,依照定积分的几何意义,x轴上方的面积减去x轴下方的面积,故可以直接得出答案0。

  注:

图片 58

示例2

图片 59

总结

  1.定积分第一基本定理:借使F’(x) =
f(x),那么:图片 60

  2.定积分的几何意义是x轴上方的面积减去x轴下方的面积。

  3.定积分的属性:

图片 61  4.定积分换元法

图片 62

 


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